八下23讲 期末压轴特训1 反比例函数图象与图形面积问题再探究

八下23讲 期末压轴特训1 反比例函数图象与图形面积问题再探究

写在前面

之前,用了6讲的篇幅,对本学期除概率统计的部分内容再次作了一个归纳整理,接下来,计划用3讲的篇幅,再对本学期的重难点题做一组特训,每篇精简题量,力求让你会一题,通一片,本讲主要涉及到一次函数与反比例函数图象以及所形成图形的面积问题.

例1

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分析:

本题主要考查反比例函数的图象与性质和反比例函数的应用.

由于AB∥x轴,BC⊥x轴,易知△ABC是直角三角形,由于反比例函数在第一象限,k>0,则当经过点A时,其横纵坐标的乘积最小,k值最小,经过点C时,其横纵坐标的乘积最大,k值最大.据此可得出k的取值范围.

解答:

过点A,则k=2

过点C,则k=16,2≤k≤16,选C

变式:

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分析:

首先,我们可以根据点C的横坐标,求出点C的坐标,继而求出点A和点B的坐标,以及直线AB的解析式,易知AB⊥OC,设AB与OC交点为D,且D必为AB中点.

根据反比例函数的轴对称性,其中的一条对称轴是y=-x,显然,当图象过点A时,也必然过点B,当图象过中点D时,与AB只有一个交点.

解答:

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小结

例1及其变式,均是求反比例k的取值范围,那么只需关注临界点的情况.

如例1,考虑的是过点作坐标轴垂线段,两条垂线段与坐标轴围成面积的最大值和最小值,发现点A和点C是临界点.

而例2,则借助对称性,发现点A是临界点,AB的中点也是.因此,看到这样的题目,不要慌,找出关键临界点,计算下横纵坐标的积,k就秒了!

例2

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分析:

本题第(1)问不难,根据点A纵坐标,求出点A的横坐标,代入反比例函数即可.

第(2)问,对于这样的斜三角形,很多学生不知如何下手,显然,点A和点B的横坐标已经确定,那么我们可以使用铅锤法,

(详见八上17讲 2017年终篇:一次函数面积专题 ——《初识铅锤法》)

以AB两点的横坐标之差的绝对值作为“水平宽”,则直线向上平移的距离为“铅锤高”,面积确定,水平宽确定,则铅锤高可求,即为平移距离.

当然,本题如果直接想到将点A,点B与平移后直线与y轴交点相连,那就更厉害了,因为平移前后的直线是平行的,这个三角形与△ABC是同底等高的,都以AB为底,两直线之间的距离为高.此法的好处在于,求出的铅锤高,就是平移后直线与y轴交点的纵坐标,即为b.

解答:

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变式:

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分析:

显然,要求平移后的直线函数表达式,只需求出b即可,则必须求出平移后直线与y轴的交点坐标,此时,利用例1中的法2,将交点与点O,点A连接,所形成的三角形面积即为△AOM的面积,问题迎刃而解.当然,将平移后直线与x轴的交点,与点O,点A连接,方法是一致的,均归为本题的法1.

解答:

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分析:        那本题可以用铅锤法来做吗?当然可以,只不过,分割方法的不同,会造成解答的繁简度不同,我们不妨来做个比较.

解答:

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反思

显然,法2比法3简单的多,为什么呢?因为法2是水平向分割,铅锤高恰好为点A与点O的纵坐标之差的绝对值,是可求的,面积又已知,则水平宽就好求.

反之,法3是铅垂向分割,铅锤高未知,水平宽是点M与点O的横坐标之差的绝对值,也未知,因而最终化成的方程很难求解.

那我们最后再尝试一下将三角形转化为梯形面积来求,看看是否简单?

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小结

本法列式不困难,但最后还是化简为一个一元二次方程,与法3相同.

由此可见,本题若死算△AOM的面积,无论是用铅锤法还是转化为梯形面积,这两种常规思路都可能陷入计算麻烦的境地,因此,我们适时要学会转化面积,利用平行线进行等积变形.

回头再看,法1是最巧妙的,因为OB的长又能作为△AOB的底,而确定点B的纵坐标,恰好是求平移后函数解析式的关键,这样的题目分析,不知是否对同学们有帮助呢?

下一讲,我们将会对四边形存在性问题再作一个回顾整理,敬请期待.

本讲思考题

八下23讲 期末压轴特训1 反比例函数图象与图形面积问题再探究
2021-05-14 原文

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