这就是数学

我们每天都在和各种各样的数字、图形打交道，而运用一定的思维和方法对这些信息进行处理则是我们进行数学思考的基础。从小学到大学，从基本的加减乘除到微积分，数学成为我们学习道路上必不可少的伙伴。然而有一个问题，我们对这个伙伴了解多少呢？通过阅读《什么是数学——对思想和方法的基本研究》一书，这个问题似乎变得不那么困难了。

A·爱因斯坦评论此书：“对整个数学领域中的基本概念及方法的透彻清晰的阐述。”

本书一共9章内容，涉及数论、几何学、拓扑学、数学分析等重要的数学分支。

第1章自然数主要讲述整数的计算、数学归纳法原理以及素数、同余和费马大定理。

第2章数学中的数系讲述有理数、无理数、复数、无限的数学分析以及代数数和超越数。

第3章几何作图 数域的代数讲述了基本几何作图的作图的各种方法，包括直尺圆规作图和只用圆规的马歇罗尼作图。

第4章射影几何 公理体系 非欧几里得几何讨论射影变化下的不变量，平行性和无穷远的联系以及非欧几何的发展。

第5章拓扑学介绍了多面体的欧拉公式、图形的拓扑性质以及曲面的拓扑分类。

第6章函数和极限研究了变量和函数、数列的极限和函数的极限、连续性的精确定义和有关连续函数的两个基本定理。

第7章极大与极小研究了驻点与微分学、施瓦茨的三角形问题和施泰纳问题。

第8章微积分讨论了积分、导数、微积分基本定理和微分方程的一些应用。

第9章最新进展是修订者I·斯图尔特根据最新的数学发展编写的一些新的定理的研究和证明。

我在本书中发现了很多有趣的新内容，这些内容是我学高等数学未曾接触过的东西。在第2章数学中的数系的第5小节复数中，我学到了一个很有用的公式：

这是英国数学家棣莫弗发现的公式。令人兴奋的是，这个公式可以解决单位根问题。让我们考虑数1的立方根，我们很容易看到1是1的一个实的立方根，在复数域中还有2个1的立方根，它们就是利用棣莫弗公式求得的。至于为什么是这样得到的，作者采取了数形结合的方法。

首先，我们看到在复数域中，1恰有个不同的次方根，它们可以用单位圆的一个内接正n边形的顶点来表示，是其中之一。多边形的第一个顶点是1，下一个是

因为它的辐角必须是圆周360°的分之一。再下一个顶点是，因为把向量旋转（）角，就得到它。再下一个是，等等。第步后，最终回到顶点1，即。所以，利用这个公式可以很方便地求得1的三次复根。又因为我们有这样的代数公式

所以1的三次复根又是方程的解。这似乎是解决了两个数学问题。

在第4章射影几何 公理体系 非欧几里得几何的第9小节公理体系和非欧几何中，我第一次接触了非欧几何。在我们熟知的欧几里得几何中，我们有如下定理：通过不在给定直线上的任一点，能画一条且只能画一条直线平行于该给定直线。然而，在克莱茵给出的几何模型中，过给定直线外一点可以画出无穷多条“直线”“平行于”这直线。让我们考虑普通欧几里得几何的对象，然后用产生非欧几何的方式重新命名其中某些对象和它们之间的关系，这就是克莱茵模型的建立方式。

在这个新的系统中，“平面”仅仅由圆的内点组成，而外边的点则丢开不管。圆内的每一个点称为一非欧几里得“点”，圆的每一条弦称为非欧几里得“直线”。容易说明这新的系统满足欧几里得几何的所有公设，仅平行公设例外。平行公设在新的系统中不成立，因为通过不在“直线”上的任一“点”能画出无穷多条“直线”与给定“直线”没有公共“点”。第一条“直线”是圆上的欧几里得弦，而第二条“直线”可以是经过给定“点”而与第一条“直线”在圆内不相交的任意一条弦。

除了克莱茵模型外，庞加莱也提出了一种非欧几里得模型。他把一个世界想象成是由圆的内部组成的，使得光线在圆内任一点的速度等于该点到圆周的距离。可以证明，这时光线将取圆弧的形式，并在它们的端点垂直于圆周。在这样的世界中，（用光线定义的）“直线”的几何性质将不同于欧几里得的直线性质。特别是平行公设将不成立，因为过任意点将有无穷多条“直线”与一给定“直线”不相交。

最后还有一个令我感兴趣的问题，就是上学期数学翻转课堂上同学们提到的“最速降线”问题。在本书中我对这个问题有了更清晰的认识。第7章极大与极小的第10小节变分法阐述了贝努力对捷线问题的处理。

我们首先考虑这样一个物理事实：一个在A静止的质点从A沿任意一条曲线下滑，在任意点时的速度与根号成比例，这里是到的垂直距离；就是说， ，其中是一个常数。现在我们把空间分割为很多水平薄片，每一片的厚度都是，并且现在假定运动质点的速度的改变是不连续的，从一片到另一片间有小的跳变，于是在邻接A的第一片中速度是 ，第二片中的速度中 ，而第片中是 ，其中是到的垂直距离。然后利用费马的光线折射规律得到这样的等式：

其中是第薄片中的折线与垂直于薄片的法线之间的夹角。现在贝努力设想厚度变得越来越小，趋近于零。那么刚才得到的作为近似问题解的折线将趋于原问题中所要求的解，在这个极限过程中，我们所得到的等式将不受影响。最终曲线将具有这样的性质：任意一点上切线和铅垂线所成的角度的正弦与该点落下的高度的平方根的比是常数，即 是常数。人们很容易证明，这个性质是旋轮线的特性。

通过阅读这本《什么是数学》，我在短短的两个月之内就了解了许多定理、公设和著名的数学问题。阅读的过程就好像我和那些数学家们一起，探索那些难题的证明过程，最终得出我们想要的结论。

如果阅读就是一次旅行，那么我觉得这次旅行的意义就在于它帮助我重新认识了我的伙伴。什么是数学？它是独特而唯一的。

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