应广大网友要求，今天我们将顾教授讲座的精彩内容发布于此。首先感谢李江宇教授的邀请，感谢知社学术圈，清华校友会，海峡研究院，提供宝贵的机会和大家探讨纯粹数学的实际应用。这些工作是在丘成桐先生的指导下，和许多数学家，计算机科学家以及医生共同完成的。假设曲面由橡皮膜做成，如果我们能够将其中的一个曲面不撕破，不粘连地渐变成第二个，那么我们说两个曲面具有相同的托扑。曲面的托扑由曲面具有的环柄数目（亏格）所决定，上图展示了亏格为0,1,2的不同托扑的曲面。假设有一只具有高度智力的蚂蚁生活在曲面上。蚂蚁没有三维的概念，蚂蚁能否判别出曲面的托扑？
庞加莱发明了同伦理论：考察曲面上任意封闭曲线是否能够缩成一个点。女孩雕像曲面上任意圈能够缩成一个点，小猫曲面上存在这样两个圈无法缩成点。
庞加莱由此给出了一种方法：如果曲面上所有的圈都能够在曲面上渐变成一个点，则曲面亏格为零，曲面和球面托扑等价。庞加莱将这一结论向高维推广，图中所示是一只实心的兔子，它是一个三维流形。庞家莱猜测：单连通的三维封闭流形和三维球面托扑等价。哈密尔顿发明了里奇曲率流的证明纲领，最终的证明由Perelman给出。数个团队补充了完整的证明细节。视频：这里我们显示曲率流的一个可视化视频，兔子曲面和大脑皮层曲面在曲率流下变形，渐渐变成球面。哈密尔顿曲率流在曲面上的情形，黎曼度量张量随时间演化，度量张量的变化率正比于曲率，使得曲率的演化遵循非线性热流过程，直至变成常值曲率，即为球面。陈省身大师证明过曲面上局部存在所谓的等温坐标，在等温坐标下高斯曲率具有简洁的表达式。曲面的曲率流是共形的，或保角的：度量张量彼此相差一个标量函数。米开朗基罗的大卫王的雕像被保角地映到平面上面。我们看到曲面的保角变换保持局部形状。曲面的曲率流推出所谓的单值化定理：任意封闭的度量曲面都能够保角地变换成常曲率曲面，球面，欧式平面或双曲曲面。换言之，曲面可以允许三种几何中的一种：球面，欧式或双曲几何。这一定理的三维推广就是瑟斯顿猜测：任何三维流形都可以被分解为素流形，每个素流形允许八种几何中的一种。哈密尔顿的曲率流在曲面上形态良好，不会产生奇异点；在三流形上，有限时间内，流形上可能产生爆破点，在这些点处，曲率变成无穷大。我们将流形沿着爆破点切开，每个连通分支接着运行曲率流。这叫做对三流形的“手术”。我们需要证明，在整个流的过程中，产生的爆破点是有限的。在座的有些高中同学，我们用离散的语言解释一下，精神实质是相同的。我们用多面体网格来逼近光滑曲面，它们由三角面片粘合而成。每个三角面片可以是欧式三角形，球面三角形或双曲三角形。我们为每条边附上一个正数，使得在任意三角面片上三角形不等式成立，这样一个赋值就是一个离散黎曼度量。如果我们保持组合结构不变，可以有无穷多个离散黎曼度量。曲率是衡量曲面局部上和平面之间的差异，所以可以用“角欠”来表示。离散情形下，高斯-博内定理依然成立。连续情况下黎曼度量决定高斯曲率，离散情况下，三角形边长决定内角。边角关系由余弦定理来表示。离散的共形变换比较复杂，我们的想法来自于共形变换的保圆性：无穷小圆映到无穷小圆。瑟斯顿提议如下的方法：给定平面区域，我们将其三角剖分，在定点处放置圆盘。每条边上的两个圆盘彼此相切。然后我们改变圆盘半径，保持三角剖分的组合关系，和圆盘间的相切关系，三角剖分覆盖的区域随之发生变化。初始三角剖分，和最终三角剖分的区域间建立了分片线性映射。如果三角剖分逐步加细，直至无穷，则分片线性映射收敛到光滑的共形变换。我们建立了离散曲率流的方程，这里u是半径的对数。哈密尔顿发明了曲率流，Perelman发现曲率流是某种特定能量的梯度流，所谓的“熵”。离散的“熵”能量是凸能量，因此我们可以应用牛顿法来优化。带边曲面的单值化非常类似，每个边界被映成常曲率空间中的圆。我们将大脑皮层用曲率流共形地映到球面上，从而为大脑表面的每一点精确建立坐标。这种“共形脑图”适用于大脑皮层曲面的注册，匹配和比较。大脑皮层曲面上有一些显著的沟回，我们沿着这些沟回切开，再用曲率流映到平面多孔圆盘上。通过建立大脑皮层间的映射，我们可以追踪大脑萎缩的模式，正常大脑老化，皮层收缩是各向同性的。一些疾病会诱发各向异性的萎缩。有些神经疾病会诱发沟回变厚，我们定期扫描病人的大脑，追踪皮层沟回的厚度变化以帮助诊断。最优传输理论：平面区域上给定两个概率密度，存在保测度的自映射。在所有保测度的映射中，使得传输代价最小者被称为是最优传输映射。最优传输映射的传输代价被称为是两个概率密度之间的Wasserstein距离。比如，我们考虑一个国家的马铃薯亩产率和消耗率，这给出了两个概率密度函数。政府设计一套马铃薯的运输方案，使得处处供销平衡，同时极小化全国的运输成本，这等价于求最优传输。Kontarovich凭借这一理论赢得了诺贝尔经济奖。Wasserstein距离的计算依赖于解非线性的蒙日-安培偏微分方程。这一方程曾被丘成桐先生应用于理论物理领域，获得了菲尔茨奖。蒙日-安培方程的解给出了最优传输映射，从而得到Wasserstein距离。我们设计了实验，扫描了上百人的大脑皮层曲面，测试了他们的智商，用曲率流方法将大脑皮层映射到单位球面上。从而将大脑皮层的黎曼度量转化为球面上的概率密度。我们将这些大脑依照智商排序，并用像素的灰度值表示两个大脑间的Wasserstein几何距离，我们看到，靠近对角线的区域，颜色较暗，远离对角线的区域，颜色较亮。这意味着智商距离和几何距离相一致。在一定程度上，大脑形状反映了智商。虚拟肠镜：直肠癌是男子的第四号杀手，一般由直肠息肉演变而来。发现并监控直肠息肉是最为有效的防治方法。传统的光学肠镜方法医生和病人有肢体接触，具有一定的侵犯性。病人需要被全身麻醉，容易诱发并发症。虚拟肠镜用CT技术采集病人的直肠几何曲面，并用曲率流的方法将直肠曲面展开摊平，将肠曲面上的所有皱褶打开，暴漏所有的息肉。同时对于从不同姿态获取的直肠曲面可以建立精确的映射，以提高诊断准确率。利用曲率流，我们将三维人脸曲面映到二维平面的标准区域上，这样将三维几何问题转化为二维图像处理问题。通过在平面上进行图像注册，我们可以自动精准地找到三维曲面特征点之间的对应。我们发明了高速，高分辨率的动态三维扫描仪，可以每秒获取动态三维人脸达180帧。利用曲率流的方法，我们可以追踪帧与帧之间的曲面，从而可以分析提取表情。利用动态曲面追踪的结果，我们可以建立特定演员的三维表情数据库，从而实现虚拟演员的概念。导演可以根据剧本自主从数据库中选取相应的表情，不需要真人演员现场表演。从而使演员青春永驻，降低拍摄成本。我们将带有不同表情的三维人脸用曲率流的方法映到平面圆盘上，不同人脸的面积变化率给出了圆盘上不同的概率密度函数，我们可以用最优传输的Wasserstein距离来衡量。表情分类：我们选了9个人，每个人三种表情：悲哀，欢乐和惊讶。我们计算任意两张人脸间的Wasserstein距离。我们将27张脸变成27个点，映射到平面上，使得任意两点间的平面距离等于它们对应的人脸间的Wasserstein距离。我们看到3个团簇，每个簇代表一族人脸曲面带有相近的表情。几何建模领域：传统样条理论是构建在仿射不变量上的，例如极形式理论等。在流形上建立样条，需要流形具有仿射结构。不幸的是，根据陈省身的纤维丛理论，高亏格曲面上仿射结构的存在性由拓扑障碍，因此样条曲面上不可避免地存在一些奇异点。奇异点处光滑性变差。流形样条：我们希望将扫描的点云转换成高质量的样条曲面。因为奇异点不可避免，退而次之，我们希望能够完全控制奇异点的位置和指标。这可以由曲率流方法实现：我们将全部曲率集中到奇异点出，其他部分曲率为零。在平直度量上构造样条曲面。若曲面有边界，则我们能够构造无奇异点的样条曲面；若曲面封闭，我们能够构造只有一个奇异点的样条曲面。可视化实例：将曲面映入平面，利用最优传输映射方法控制不同部分间的面积比例，例如头部具有不同的放大系数。假设图中每一个点代表一只手机，手机可以在很小的半径内通信。但是没有一只手机具有全局信息，网络中具有各种障碍物。传统的方法是所谓的贪婪算法：假设每一只手机具有GPS位置信息。目标的GPS坐标已知，当前的手机将信息传给自己的一个邻居，其位置更靠近目标。在邻居障碍物的尖点处，贪婪算法失败。利用曲率流，我们将整个网络变成圆盘，每个障碍区间变成圆洞，在这种虚拟坐标下，贪婪算法一定成功。但是在这种情况下，边界处的传感器会负载过重。为了实现负载平衡，我们将网络关于其边界反演，然后在覆盖空间上进行路由，以实现负载平衡。打破神话：人们一直认为随机路由可以安全地隐藏消息发出者的位置信息。我们发现平面上如果随机行走到达边界点的概率已知，则消息发出点的位置可以计算出来。这种概率在曲率流下不变，因此曲面情形可以用曲率流转化为平面情形算出。计算拓扑问题：双曲曲率下，每个同伦类具有唯一的测地线。最短词问题：给定高亏格曲面，给定同伦群基底。任给一条封闭曲线，曲线由基底生成，因而可以表示成由字母组成的词。但是这种表示并不唯一，求其中最短者被称为是最短词问题。这一问题被证明是NP问题。底空间的一条封闭的圈可以被提升为万有复迭空间的一条路径曲面上的一条圈可以用Birkoff算法变形成一条测地圈如果度量为双曲，所有的基底和圈都是测地线，则最短词问题多项式可解。B.证明庞家莱猜测过程中，人类发明了许多新颖的概念，方法和理论工具D．证明过程中所发明的曲率流方法具有极大的潜质，被广泛地应用于众多的工程和医疗领域
