三角函数图象与性质问题之ω的应用
三角函数图象与性质问题之ω的应用
Ø方法导读
近几年高考降低了对三角变换的考查要求,而加强了对三角函数的图象与性质的考查,因为函数的性质是研究函数的一个重要内容,是学习高等数学和应用技术学科的基础,又是解诀生产实际问题的工具,因此三角函数的性质是高考的重点和难点.要充分运用数形结合的思想,把图象与性质结合起来,同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象,这样既有利于掌握函数的图象与性质,又能熟练地运用数形结合的思想方法.在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题,其试题难度属中档题.
Ø高考真题
【2019·全国Ⅲ卷理·12】设函数
,已知
在
有且仅有5个零点,下列四个结论:
①
在
有且仅有3个极大值点
②
在
有且仅有2个极小值点
③
在
单调递增④
的取值范围是
其中所有正确结论的编号是( )
A.①④ B.②③ C.①②③ D.①③④
Ø解题策略
【过程分析】
方法一:首先由
得到
,再结合
在
有且仅有5个零点,得到
,从而得到
的取值范围;然后由
知
,结合图像可以判断出极值点的个数;又因为
时
,联系到
在
单调递增,可知
,得出满足条件的
的取值范围,与大前提对比,看是否满足要求.
方法二:函数
在
有且仅有5个零点,结合图像可知
恰
好位于第五个交点和第六个交点之间(包括第五个不包括第六个),
从而可判断出极值点情况,且
,得出
的取值范围,
再根据
结合正弦函数的图像分析可得结论.
【深入探究】
在三角函数的图像与性质中,与
有关的问题,往往难度相对比较大,常常利用整体换元的思想,数形结合的思想求解.数形结合思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质.运用数形结合的思想方法,可更好的理解三角函数的图象和性质.如三角函数的定义域,值域,周期性,奇偶性,单调性,对称性等都可以从三角函数的图象上直观的显现出来,而利用三角函数的图象又非常容易理解三角函数的这些性质.因此,明确研究三角函数问题都可用代数和几何相结合的思想方法,拓宽思维空间,提高解决问题的能力.
Ø解题过程
方法一:
当
时,
,∵
在
有且仅有5个零点,
∴
,∴
,故④正确;
由
,知
时,令
时取得极大值,①正确;
极小值点不确定,可能是
个也可能是
个,②不正确;因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案,当
时,
,若
在
单调递增,则
,即
,∵
,故③正确.
方法二:
如图,根据题意知,
,根据图像可知函数
在
有且仅有
个极大值点,所以①正确;但可能会有
个极小值点,所以②错误;根据
,有
,得
,所以④正确;当
时,
,因为
,所以
,所以函数
在
单调递增,所以③正确.
Ø解题分析
本题为三角函数与零点结合问题,难度大,可数形结合,分析得出答案,要求高,理解深度高,考查数形结合思想.注意本题中极小值点个数是动态的,易错,正确性考查需认真计算,易出错.
方法一通过整体换元得到
,得到
的取值范围,再结合正弦函数的图像分析得出答案.
方法二结合图像确定
,即
,得出
的取值范围,从而分析可得结论.
Ø拓展推广
(一)函数图象的平移变换解题策略
(1)对函数
,
或
的图象,无论是先平移再伸缩,还是先伸缩再平移,只要平移
个单位,都是相应的解析式中的
变为
,而不是
变为
.
(2)注意平移前后两个函数的名称是否一致,若不一致,应用诱导公式化为同名函数再平移.
(二)结合图象及性质求解析式
的方法
(1)求
,
,已知函数的最大值
和最小值
,则
,
.
(2)求
,已知函数的周期
,则
.
(3)求
,常用方法有:
①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时,
,
,
已知).
②五点法:确定
值时,往往以寻找“五点法”中的第一个零点
作为突破口,具体如下:
“第一点”(即图象上升时与
轴的交点中距原点最近的交点)为
;
“第二点”(即图象的“峰点”)为
;
“第三点”(即图象下降时与
轴的交点)为
;
“第四点”(即图象的“谷点”)为
;“第五点”为
.
(三)三角函数单调性问题的常见类型及解题策略
(1)已知三角函数解析式求单调区间.
①求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式先化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减”;
②求形如
或
(其中,
)的单调区间时,要视“
”为一个整体,通过解不等式求解.但如果
,那么一定先借助诱导公式将
化为正数,防止把单调性弄错.
(2)已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解.
(3)利用三角函数的单调性求值域(或最值).形如
或可化为
的三角函数的值域(或最值)问题常利用三角函数的单调性解决.
(四)三角函数的奇偶性、周期性、对称性的处理方法
(1)求三角函数的最小正周期,一般先通过恒等变形化为
,
,
的形式,再分别应用公式
,
,
求解.
(2)对于函数
,其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点,因此在判断直线
或点
是否为函数的对称轴或对称中心时,可通过检验
的值进行判断.
(3)若
为偶函数,则
,同时当
时,
取得最大或最小值.
若
为奇函数,则
,同时当
时,
.
(五)三角函数的图象及性质与三角恒等变换相结合的综合问题
(1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式转化成
或
的形式.
(2)利用公式
求周期.
(3)根据自变量的范围确定
的范围,根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值,另外求最值时,根据所给关系式的特点,也可换元转化为二次函数的最值.
变式训练1
函数
在区间
上至少存在
个不同的零点,则正整数
的最小值为( )
A
B
C
D
变式训练2
已知函数
在区间
上单调,且在区间
内恰好取得一次最大值
,则
的取值范围是( )
A
B
C
D
变式训练3
设函数
,若
在区间
上单调递增,则下列说法中不正确的是( )
A 存在
使得函数
为奇函数 B 函数
的最大值为
C
的取值范围为
D 存在
个不同的
使得函数
的图像关于
对称
变式训练4
已知
,
,其中
,若函数
在区间
内有零点,则实数
的取值可能是( )
A
B
C
D
变式训练5
已知函数
在
上的图像有且仅有
个最高点,下面四个结论:
①
在
上的图像有且仅有
个最低点; ②
在
至多有
个零点;
③
在
单调递增; ④
的取值范围是
.
正确的结论是( )
A ①④ B ②③ C ②④ D ②③④
答案
变式训练1
B
函数
在区间
上至少存在
个不同的零点,
,根据题意得到只需要
,最小整数为
.
变式训练2
B
,∴
是函数含原点的递增区间.又∵函数在
上递增,∴
,∴得不等式组:
,且
,又∵
,∴
,又函数在区间
上恰好取得一次最大值,根据正弦函数的性质可知
且
,可得
.综上:
.
变式训练3
A 存在
使得函数
为奇函数
由题意
,
显然不存在
使得函数
为奇函数,故A错误;
,故B正确;
由于
在区间
上单调递增,
故
,解得
,故C正确;
令
,
,解得
,
,
由
知
的取值为
,故D正确.
变式训练4
D
由题
,
,其中
,
令
,则
,
,即
,
,
若函数
在区间
内有零点,
则
,
有解,解得
,
,
当
时,
;当
时,
;当
时,
,
综合四个选项可以分析,实数
的取值可能是
.
变式训练5
D ②③④
当
时,可知
,
由
在
上的图像有且仅有
个最高点,
可知
,解得
,即④正确;
若
时,
没有
个最低点,故①错误;
如图可知②正确;
由
,所以
,
又
,
,
根据上图可知
在
单调递增,可知③正确.