外一则——记一道好玩的行程问题

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最近看见一道好玩的行程问题，拿出来和大家一起分享一下。

不瞒大家，这个题目我做了好一会儿才搞定——因为题目太长了。在看解答之前，有兴趣的可以先自己做一遍试试。

题目长了，信息就多了，因此如何把这些信息用在解决问题上就显得至关重要。

之前我讲过，正经的数学题中的条件一定是刚刚好的，既不会多也不会少。所以我们要从这么长的题干中分析出能列等式的条件，这是当务之急。

首先，甲乙是相向而行的，相遇后乙原地不动，甲继续走；然后甲乙一起走，然后到了目的地后立即折返，又相遇，这就是整个过程的精简版。

然后上面这张图中的折线段表示两人之间的距离。这里的折线段分成五段，有的平坦有的陡峭，用行话说叫斜率的绝对值各不相等。

这代表着什么？我们先来看0分钟的时候，意味着两个人将动未动，此时两人的距离就是AB之间的距离，当两人碰面时，距离为0，即第一条折线段的末端。

这条折线段上有两个点是有数值标记的，第一个表示两人走了5分钟的时候相距980米，所以我们假设AB之间距离为s，乙的速度为x的话，很容易得到：

s-5×(60+x)=980

两人相遇时走过的路程恰好就是整段距离，但是相遇时的时间是不知道的，因此根据缺什么设什么的要求，假设相遇的时两人用了t分钟，那么可以得到

(60+x)×t=s

两个方程但是有三个未知数，说明我们还少一个方程，很显然最后这个方程一定是对应到31分钟相距1180米这个点上了。

最后这个方程该怎么列呢？

这个1180米有几种可能：一是甲走到B然后折返，此时乙还没走到A；二是甲还没到B，乙还没到A；三是甲走到B然后折返，乙走到A折返；四是甲还没到B，乙到了A折返。

这四种都是可能的。

那方程该怎么列？

这四种里肯定有几种是不合理的，关键是如何甄别出来？

再回头看图。图中一定有什么东西被我们遗漏了的。

除了标记出来的两个点之外，就只有五条线段的陡峭程度了。事实上，第一段比第二段陡峭，而第一段中是两个人相向而行，第二段中只有甲在走，也就是说当两个人相对速度越大，那么直线就越陡峭！

那这样第三段意味着乙干完活了，开始走了，此时甲乙两人应该是背道而驰，所以相对速度变大了，而第四段相对比较平坦，说明相对速度变小了，应该是其中一人到达了终点开始折返，而另一人尚未到达终点，第五段说明另一人也到达了终点并且开始折返了。

也就是说，上面提到的甲还没到B，乙还没到A以及甲走到B然后折返，乙走到A折返这两种情况排除了——不然第四段的相对速度变小无法解释。

接下来，是最难的判断部分了：究竟是甲走到B然后折返，此时乙还没走到A还是甲还没到B，乙到了A折返呢？

如果是甲走到B然后折返，此时乙还没走到A，我们可以列出式子：

17x-(1860-s)=1180;

如果是甲还没到B，乙到了A折返，我们可以列出式子：

1860-(17x-s)-1180

第一种情况解得x=80，s=1680，而第二种情况x=490/3，s=6290/3.

看着都应该是第一种情况。

但是怎么给出一个合理的解释呢？

我们再回到图中：如果是第二种情况，由于乙到了A点，此时甲还未到达B点，又由于乙的速度大于甲的速度，因此两人之间的距离在第三段结束时应该达到最大，而在第四段开始时，两人之间的距离开始缩小！这就和图形矛盾了，如果是这种情况，第四段应该掉头向下，而不是缓慢上升！因此只能是前一种情况。

根据x=80,s=1680，我们马上得到了t=12.

所以乙走到A用了1680/80+14=35分钟，而甲走完全程需要1680/60=28分钟，当乙走到A的时候，甲已经从B折返回来了7分钟，共计420米，总路程还剩下1260米。

所以两人再次碰面时，走了35+1260/(80+60)=44分钟，也就是甲再44分钟之后开始执行任务。

整个分析过程跌宕起伏，还是挺有意思的，而且还设置了迷惑条件，即两人相遇的时间其实无关紧要，可以不求，对于第四段中两人相距1180米的分析可谓是本题的点睛之处，细细品味，这个题目对于考察学生的分析能力是比较到位的。

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