2021哈佛-麻省数学竞赛春季赛 团体赛 中文翻译

团体赛

比赛时间:2021年3月6日
1.分正整数满足. 已知

为整数.

(1)是否一定为整数?
(2)是否一定为整数?

2.(分)直角中,  圆的圆心在上, 与切于点, 与切于点. 已知与交于两点, 且在线段上, 直线交于点. 求证: .

3.(分)已知为正整数, 证明存在正整数, 使得以下个整数均为正合数:

4.(分)已知为正整数, 设求值(用表示):

5.(分)一个凸多面体的每个面都是全等的三角形, 且这个三角形的三个顶角的度数为 and . 求这个多面体的面的个数的最大值.

6.(分)函数求所有的正整数, 使得对的所有因数, 均有整除.

7.(分)在中, 为中点, 为线段上一点. 在射线 与 上分别取点, 使得 且 . 求证: 的外接圆与的外接圆相切.

8.(分) 对任意正实数, 定义. 已知为正整数. 集合满足,对任意, 若 则

求的最小值, 并证明.

9.非等腰外心为, 内心为. 内切圆 与边分别切于点 过作 于, 直线与交于点. 过作的垂线与直线交于点. 若, 求证: .

10.(分)已知为正整数, 将一个的网格表的所有单元格染成黑色或白色, 并满足一下条件:
对任意两个黑色单元格, 可以从其中一个黑色单元格出发, 途经若干黑色单元格, 到达另一个. (这里经过的每个单元格必须与上一个单元格有公共边)
对任意两个白色单元格, 可以从其中一个出发, 途经若干白色单元格, 到达另一个. (同样的,这里经过的每个单元格必须与上一个单元格有公共边)
任意一个的小方块中, 至少有个黑色单元格, 也至少有个白色单元格.
求黑色单元格与白色单元格的个数之差的最大值(用表示).