圆锥曲线专题解析5：点差法分析中点及斜率（附参考答案）
点差法分析中点及斜率（圆锥曲线）
Ø方法导读
我们在解答圆锥曲线题目时,经常会碰到一些中点弦的问题,比如根据弦的斜率求中点坐标,根据中点坐标求弦的斜率,或者其它一些跟中点弦相关的计算和证明等等.按照常规思路,我们会联立直线和圆锥曲线方程,消去
或
,然后通过韦达定理来处理中点弦的问题,这样能得到我们所要求的结果,但计算量会比较大,一不小心就会算错,造成失分.今天来介绍下圆锥曲线中的点差法,专门针对中点弦的问题进行简化运算,快速得到答案.
Ø高考真题
【2018年高考Ⅲ卷理20】已知斜率为
的直线
与椭圆
交于
,
两点.线段
的中点为
.
(1)证明:
;
(2)设
为
的右焦点,
为
上一点,且
.证明:
,
,
成等差数列,并求该数列的公差.
Ø解题策略
【过程分析】我们来分析下第一问,第二问不在本专题研究范围之内,学生可自行总结.题目中出现了弦的中点坐标条件,证明的结论是弦的斜率范围.根据正常思路,先设出直线方程为
,代入中点坐标可得
,联立直线和椭圆
,消去y得
,然后将
代入
得到不等式,再结合中点的条件及
的范围得到
的范围,又或者先求出
的表达式,然后结合
的范围分析求解. 解题思路上不算太复杂,套路也是常用的处理方式,但计算量大,非常容易算错,费事费力,一不小心就会造成选择不对,努力白费的局面,所以这个时候选择一个好方法就显得尤为重要,点差法就是专门处理这类中点弦的问题的快捷方法,通过将点的坐标代入曲线方程,然后作差能快速得到斜率和中点的关系,从而大大简化运算,轻松得分.
Ø解题过程
(1)设
,
,则
,
,两式相减,并由
得
.
由题设知,
,
,于是
.①
又数形结合可知
,故
;
(2)由题意得
,设
,则
,
由(1)及题设得
,
.
又点
在
上,所以
,从而
,
.
∴
.
同理
,所以
,
故
,即
,
,
成等差数列.
设该数列的公差为
,则
.②
将
代入①得
.
所以
的方程为
,代入
的方程,并整理得
.
故
,
,代入②解得
.
所以该数列的公差为
或
.
Ø解题分析
从解析第一问中可以看出,我们用点差法来处理中点弦的问题是极为方便的,计算量小,思路也很简单.设出弦与曲线的交点坐标
,
,因为点在曲线上,故代入曲线方程可得
,
,然后作差,作差是点差法的精髓所在,作差之后我们可以得到
,平方差公式展开得
,然后根据两点间的斜率公式
和中点坐标公式
,代入就可以得到
,表达式中中点坐标和弦的斜率关系一目了然,简明扼要,然后在根据
的范围得到
的范围. 所以点差法用在弦的中点和斜率关系的求解上绝对可以起到事半功倍的效果,没有了冗长的计算,学生学起来不但轻松了,而且学习兴趣也会大大提高,增强学习数学的自信心.
Ø拓展推广
点差法:
设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为
,
,将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦
的中点坐标和斜率有关的式子,我们称这种代点作差的方法为“点差法”.
结论:
结论1:斜率为
的直线
与椭圆
交于
,
两点,
中点为
,则
.
结论2:斜率为
的直线
与双曲线
交于
,
两点,
中点为
,则
.
结论3:斜率为
的直线
与抛物线
交于
,
两点,
中点为
,则
.
若圆锥曲线的焦点在y轴上,结论如何,请同学们结合点差法自己动手推理试试.
点差法应用题型:
1.以定点为中点的弦所在的直线方程
2.过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹
3.圆锥曲线上两点关于某直线对称问题
4.求与中点弦有关的圆锥曲线的方程或离心率等
5.与中点弦有关的证明定值,求参数范围,存在性问题等等
注意事项:
利用点差法时,有时要验证求出的结果是否满足直线与曲线相交的要求,可用判别式分析.
举例说明:
已知双曲线的方程
,问是否存在被点
平分的弦,如果存在,求出弦所在的直线方程,如果不存在,请说明理由.
按照常规的解法:设直线的方程为
,与双曲线方程联立
,
由
得
,且
,但是由“点差法”仍然可得到一条直线的斜率
,显然不符合题意,由此可见“点差法”是有局限性的.
事实上,
(1)若中点在圆锥曲线(包括圆)内部,则满足条件的直线必定存在;
(2)若中点在圆锥曲线(包括圆)上,则满足条件的直线必不存在;
(3)若中点在圆锥曲线(除双曲线外)外部,则满足条件的直线必不存在.
特别地,对于点
在双曲线
的外部时,满足
时直线必定存在,否则一定不存在(当点
在坐标轴上时属于特殊情况,应当特殊考虑).
拓展:定比点差法
圆锥曲线中涉及“中点、中点弦”等问题可以考虑使用“点差法”. 有时问题中不出现“中点”,而是“定比分点”,这时可以考虑使用“定比点差法”. 定比点差法与点差法类似,都是根据某两点在圆锥曲线上,则这两点满足曲线方程,然后作差. 定比点差法代点后一个等式不变,另一个等式两边同乘以
,再相减.
设
,
在二次曲线
上,则
,两式作差得
,
即
①,
若
,则
,
即
②,将②代入①得
③,然后根据条件进行相应分析即可.
变式训练1
已知直线
与抛物线
交于
,
两点,则线段
中点坐标是__________.
变式训练2
已知双曲线
,经过点
能否作一条直线
,使
与双曲线交于
、
两点,且点
是线段
的中点.若存在这样的直线
,求出它的方程,若不存在,请说明理由.
变式训练3
已知椭圆
,
(1)求斜率为
的平行弦的中点轨迹方程;
(2)过
的直线
的椭圆相交,求
被椭圆截得的弦的中点轨迹方程;
(3)求过点
且被
点平分的弦所在直线的方程.
变式训练4
已知过点
的直线
与椭圆
且
相交于
,
两点,
中点坐标为
且
(
为坐标原点).
(1)求直线
的方程;
(2)证明:
为定值.
变式训练5
如图,在
中,
,
,
,椭圆
以
,
为焦点且过点
,点
为坐标原点.
(1)求椭圆
的标准方程;
(2)若点
满足
,问是否存在不平行
的直线
与椭圆
交于不同的两点
,
且
,若存在,求出直线
的斜率的取值范围,若不存在,说明理由.
答案
变式训练1
设中点坐标为
,则
①
又由点差法知
,即
②
由①②知:
,故所求为
.
变式训练2
见解析
设存在被点
平分的弦
,且
,
,
则
,
.
∵点在曲线上,∴
,
,
两式相减,得
,∴
,
故直线
.
由
消去y,得
,
,方程无解,故不存在这样的直线.
变式训练3
见解析
(1)设这些平行弦的方程为
,弦的中点为
.
联立直线方程和椭圆方程:
,消去y得
,
因此
,
,∴
,
的横纵坐标是
,
,
,消去
得平行弦的中点轨迹方程为:
,
.
(2)设弦的端点为
,
,弦的中点为
.
∴
,
∴
,∵
,因此
,
化简得
.(包含在椭圆内部的部分)
(3)由(2)可得弦所在直线的斜率为
,因此所求直线方程是:
,
化简得:
.
变式训练4
见解析
(1)设
,
,∴
,
①-②得
,∵
中点坐标为
,∴
.
∴直线
的方程为
,
联立
消去y得
③
于是
,
∵
,∴
,∴直线
的方程为
.
(2)由③得:
,
,
由
,即
,即
,
化简得
,则
,
即
,所以
.
变式训练5
见解析
(1)依题意,
,
,所以
,故
,∴方程为
.
(2)点
满足
,故
.
设
的中点为
,∵
,
则
,此条件涉及弦
的中点及弦
的斜率,故用“点差法”.
设
,
,
,直线
的斜率为
,则
,①
,②
由①-②得:
.
又∵
,则
,∴
,从而解得
,
,点
在椭圆内,则
且
.