【名师支招】线段和最值解析——“胡不归”与“阿氏圆”

【“胡不归”模型】——垂线段最短

【背景】

      从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B（如图所示:A是出发地，B是目的地，AC是一条驿道），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”(怎么还不回来？怎么还不回来？）。这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”。

[推导]

[举例]1、当α=45°时：

[举例]1、当α=30°时：

两定一动求最值，最终用垂线段最短来求解

【例题1展示】

【例题2展示】

【例题3展示】

解法提示：

【“阿氏圆”模型】——两点之间线段最短

【背景】

已知平面上两定点A、B，则所有满足()的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。在初中的题目中往往利用逆向思维构造“反A”型相似(也叫“母子型相似”)+两点间线段最短解决带系数两线段之和的最值问题。

[步骤]

[推导]

[比较]

【变式训练1】

【提示】：

【变式训练2】

【变式训练3】

【提示】：

【变式训练4】

【提示】：

【变式训练5】

【提示】：

【变式训练6】

【提示】：B、D、M三点共线时候最小，

【变式训练7】

来源做中学学着做

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