中考数压轴题之费马点模型

这期这道题并不是中考真题,我也没找到是哪里的模考题,但是不影响这道题的重要性,这种类型的题目,同学们如果做过总结,会发现很简单,如果不做总结,考试时间都给你想你也想不出来,下面我们就来看看这道题吧

第一问,求∠A+∠C的度数,这个很简单,就是270°。

第二问让我们连接BD,探究一下三条边之间的关系

这关系看不出来,我们可以拿尺子量一下,发现不是加和关系,那么考虑勾股定理关系,发现就是它。这里要注意一下,有的题目会让我们猜测关系,但是关系往往不是那么容易看出来的,所以我们有必要借助一些工具,比如刻度尺,量角器这些来进行辅助猜测。

既然判断出是勾股定理关系,那么我们该怎么证明呢?

首先想到是要把它们放到一个三角形当中去,可是这个三角形在哪里呢?

这边就需要同学们积累一下了,遇到这种边相等,且存在勾股定理关系的,我们要想到旋转

我们将红色的三角形绕点B顺时针旋转60°到蓝色的三角形的位置,因为BA=BC,所以旋转过来刚好能重合,我去居然这么巧其实就是因为相等才想到旋转的,这种技巧需要大家记忆,否则你考试很难考自己想出来的

之后我们就发现,AD=CD’,BD=BD’,可是好像还是没有把这三条边放到一个三角形当中去,不急,我们还要连接DD’,这样△BDD’就是等边三角形,怎么突然它就是等边三角形了?因为我旋转了60°,而且BD=BD’,所以它自然是等边三角形。那么后面就简单了,BD与DD’是相等的,所以三条边都转化到了△CDD’当中,那么问题就转化为证明∠DCD’=90°了。

根据第一问,我们知道∠A+∠C=270°,而∠A经过旋转应该等于∠BCD’。所以用周角360°减去270°,就得到∠DCD’=90°,此题得解。

第三问

有一点E在四边形内部运动,然后满足一个勾股关系,让我们求出E的路径长度。我相信大部分同学读到这道题内心已经放弃了,这都是什么玩意儿内部运动?路径长度?怎么动我都不知道,还求路径,还要找直角三角形,太难了!!确实,这道题很难,但是难者不会,会者不难。做好积累很重要。

这道题第二问和第三问其实都类属于费马点模型

嗯,数学家都搬出来了,知道这道题为啥那么难了吧

不同的是费马点是旋转后要拉成直线,这种问题是要放到一个三角形当中去

费马点问题解决的关键就在于旋转,你说这种旋转辅助线怎么可能不做积累你就能想到呢

回到这道题,我们怎么旋转呢?

在解决这个问题之前,我们还要解决一个小问题,题目说点E是在四边形内部的,其实点E是在△ABC内部的

因为如果点E在△ABC外部,那么BE就是最长边,显然不能满足题目所给的等式,题目给的等式要求我们AE是最长边。之后,开始旋转

褐色三角形旋转60°到变为绿色三角形,并且连接EE’,同样的方法能证明△BEE’是等边三角形,这样我们要求的三条边又都放到了△EE’C当中去了,根据题意,三边满足勾股关系,因此△EE’C为直角三角形

非常高兴,领悟到了出题人的意思,但是接下来,又傻眼了,这点E的轨迹又是啥

先捋一捋,我们现在知道了∠E’EC=90°,再观察一下,发现,∠BEE’=60°,原因是等边三角形,这样就有线索了,∠BEC恒等于150°,到这就要想到圆周角了。

这就是定弦定角的隐圆模型了,当我们知道一条定长线段,且有一个点与线段组成的角是固定的,我们就要立马想到,所有的点是在一个圆弧上的

因此点E一定在一个圆上面,我们只要把这个圆的圆心找出来就行了。

我们知道∠BEC恒等于150°,因此∠F=30°这边是用圆的内接四边形定理,那么圆心角BC’C=60°,所以△BCC’是等边三角形,所以BC=BC’=1,圆C’的半径为1,且点E在弧BC上运动,自然能求出轨迹长度为π/3,这道题就解完了。

下面开始进行技术总结

1.要能认出是费马点模型,并且记住旋转这个辅助线的作法,如果临场想不到,这类题目几乎无可能做出来

2.学会用工具去辅助判断题目的猜想,别只是盯着看

3.定弦定角的隐圆模型要熟悉,平时多去训练,保证考场上第一时间想到

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