40万亿个组合！用数学玩转魔方——就是这么有趣！

魔方是一个极具挑战性的游戏，主要是因为魔方的组合太多了。确切地知道有多少个组合不是很有趣吗？如果你知道如何自己计算这个数字会更有趣。

基础

假设我们有三个弹珠（玻璃球），每个弹珠都是不同的颜色。一个是红色的，另一个是绿色的，第三个是蓝色的。如果我们要把这些弹珠在我们面前的桌子上排成一排，我们要怎么排列它们？

• 三个弹珠放在桌子上

我们所选择的排序只是许多组合中的一个。我们本可以选择把绿色放在前面而不是红色。每个组合都是弹珠的排列。如果我们重新排列这些玻璃球，我们会找到另一个排列。

一组对象的排列是将这些对象按照特定的顺序排列。——维基百科

为了计算魔方有多少个组合，我们首先要学习如何计算一组弹珠的排列。

排列

我们直观地知道3个玻璃球的集合有几种不同的排列方式，但究竟有多少种呢？计数的一种方法是重新排列桌子上的弹珠，直到我们找到每个排列。这样做，我们可以看到我们有六个排列。

• 一组3个玻璃球有6种排列方式

当我们只有3个玻璃球的时候，把每一个排列都可视化是很有效的，但是如果我们想要计算一袋500个玻璃球的排列呢？我们需要一个不同的策略。

有一个很好的数学技巧我们可以用来计算排列的可能组合，叫做阶乘。给定n个元素，n的阶乘等于n的排列数。

一个非负整数n的阶乘，用n表示！”，是所有小于等于n的正整数的乘积。——维基百科

因为我们有3个玻璃球，我们可以通过计算3的阶乘来计算排列的总数。

• 一组3个玻璃球，有6种排列。

玻璃球没有方向。不管它是怎么放在桌子上的，它看起来总是一样的。当我们计算弹珠的组合数时，我们只关心它们的排列。

如果我们想计算一套三张扑克牌的总排列数会怎样？

最初，问题看起来是一样的。我们有三张牌，并且知道它们可以被排列成3的阶乘不同的排列，就像玻璃球一样。

• 我们三张牌的一个位置

然而，扑克牌是有方向的。我们可以翻转这三张牌中的任何一张，我们会得到一个不同的组合。为了计算组合的总数，我们需要同时考虑每张牌的排列和方向。

• 当翻转卡片时，会得到一个新的情况

我们已经学过如何计算排列的总数。接下来，我们将看到如何计算每个排列的方向总数。

我们有三张牌，每张牌有两种可能的朝向，面朝上或面朝下。对于我们的三的阶乘排列中的每一个，我们都能够得到所有这些方向。

• 每个排列有八个可能的方向

一组三张牌的一个排列总共有多少个方向？我们可以用上面的图来计算，但是这样计算会更快。我们有三张牌，每张牌有两个方向。一个排列纸牌的总方向数可以计算为2的三次幂。

• 每个排列都有八个可能的方向

三张牌的总组合

我们已经确定纸牌的排列总数是3的阶乘，每种排列的方向总数是2的三次幂。

计算组合的数量是通过排列的数量乘以方向的数量来得到的。

• 排列和方向的乘积是组合

考虑到所有排列和方向，一套三张扑克牌有48种可能的组合。

了解魔方

现在我们已经掌握了计算魔方组合总数所需的所有知识。我们知道，给定一组有p个方向的n个物体，可以计算出这组物体的组合总数。

• 有p个方向的n个物体的总组合

一旦我们理解了魔方是如何构建的，我们就可以应用这个公式来计算组合的总数。

魔方的解剖图

魔方有6条边，每条边都有9个方块，但在计算组合数时，这不是一个思考魔方的好方法。相反，我们需要了解立方体是如何构建的，有哪些类型的块，以及每个块是如何围绕轴移动的。

重要的是要理解魔方有三种类型的“棋子”。当我们转动立方体的侧面时，每个立方体的表现都不同。我们在计算时要记住这一点。

计算组合

魔方的组合总数可以通过分别观察这三种类型的棋子来计算。

中心位置

魔方有六个中心棋子，它们位于魔方每个面的中心。正如我们所知，中心部分是固定轴的一部分，不动。所有其他的棋子都在中心移动。这意味着中心部分有一个排列和一个方向。

直觉上我们知道一个排列和一个方向的东西只有一个位置，但是我们可以通过把这些数字代入方程来验证。

• 魔方中心的所有组合

顶角

每一个三维立方体都有八个角，魔方也不例外。与中心不同，每个角块都可以移动和旋转。因为有8个角，所以这些块的排列总数是8的阶乘。

为了计算出一件物体的方向数，我们需要知道每个棋子着色面的数量。一个顶角角有三个面着色，所以它必须有三个方向。正如我们所学的，这意味着每个顶角的方位的总数是3的8次方。

根据这些数字，我们可以计算出顶角的组合总数。

• 魔方的各个顶角的组合

边角

魔方有12个边角，每个边角都可以移动或翻转。我们可以计算这些边角的排列总数为12的阶乘。

我们可以使用相同的方法，确定边角有两个方向（两个着色面）。这意味着边角的方向总数是2的12次方。

根据这些数字，我们可以计算出边角的组合总数。

• 魔方边角的总组合

把它们放在一起

我们已经计算了中心，顶角，边角的组合数。要计算整个魔方的所有组合，最后一步是把这些数字相乘。

• 魔方的总组合

但是，还没有结束

我们已经成功地计算了组合数量，但是做出了一个假设。我们的计算假设可以将魔方拆开，这是不可以的。那么并不是魔方的每个位置都是可能的。

由于魔方的局限性，每12个位置中只有1个可以通过转动魔方的侧面来实现。我们可以把这个因素代入我们的式子中，然后确定魔方的合法组合总数。

它有多大？

魔方有超过四十万亿个合法的组合。

如果你能以每秒1000次的速度来观察每一个组合，那就需要1亿3千万年的时间。

如果我们把43万亿分之一的硬币堆在一起，那么这堆硬币的高度足够到达太阳并返回地球。