五年级：美妙数学之钉子板上的多边形（0929五）

一起回顾微课学习过程

你会求这些图形的面积吗？需要知道哪些条件？

第三个图形除外，其他图形要知道底和相应的高，就能用相应的面积公式求得它们的面积。

将第三个图形进行切割分成梯形和长方形，知道切割后长方形的长与宽，梯形的上底、下底、高，也能求得面积。

以上都是我们常用方法，用边的长度计算面积。如果不用边的长度，还可以怎么计算多边形的面积呢？今天我们就在钉子板上围一围多边形，看看还有什么方法可以求面积。

将下图中的每个点看成是一枚钉子，可以围出各种多边形。

1号、2号、7号、9号这几个多边形内都只有1枚钉子，2号、4号、5号这些多边形内有2枚钉子，，6号多边形内有3枚钉子，8号多边形内有4枚钉子。

我们不妨从边内只有1枚钉子的情况开始。这些多边形的面积是多少平方厘米，每个多边形边上的钉子各有多少枚？

每相邻两枚钉子之间的距离都是1厘米，那么，4枚钉子围成的最小正方形的面积就是1平方厘米。我们可以用数这样的小正方形或是相应的面积公式可以一一求得这些图形的面积。

数钉子数的时候要仔细哦！

从不同方向观察表格，你有什么发现呢？

竖着看，多边形边上的钉子数越多，多边形的面积越大；横着看，4枚钉子对应2平方厘米，6枚钉子对应3平方厘米……即多边形边上钉子数除以2得到多边形的面积。

我猜，多边形边上钉子数是n时，它是面积是

我们可以再围几个多边形验证下。

分别求除这些图形的面积，数出边上的钉子数如下：

前两个图形边上钉子数除以2的数正是图形的面积数，再结合之前的4个探究图形（如下），会发现当边内钉子数是1时，多边形的面积可以由边上钉子数除以2求得。

当边内钉子数是2时，边上钉子数与面积又有什么关系呢？

像刚才那样数一数、求一求，再看一看，想一想，寻找关系。

10枚对应6平方厘米；9枚对应5.5平方厘米；4枚对应3平方厘米，可以找到这样的规律：

我们可以通过猜想并验证得到，多边形边上钉子数是n时，它是面积是

当边内钉子数是3时，边上钉子数与面积又有什么关系呢？

可以像刚才那样先画图，再数一数钉子数，求出面积，寻找关系，然后猜想验证。

我们可以在这几组数据之间找到这样的关系：

那么通过猜想并验证可以得到，当边内钉子数是3时，边上钉子数若为n，面积是：

整理下我们发现的结论

如果边内没有钉子，会怎样呢？

我猜，多边形边上钉子数除以2再减1.

果然如此。看来，边内没有钉子数时，若边上钉子数是你n，多边形面积可以写成：

现在，无论是边内钉子有几枚，我们都能根据边上钉子数求得多边形的面积了。

这叫“皮克定理”，是1899年，奥地利数学家皮克发现的。他将多边形放到格点中研究，发现多边形面积与多边形上钉子数、边内钉子数之间的规律，并进行了证明。这个规律被誉为史上“最重要的100个定理”之一。

今天的学习，你有什么体会？

我们要善于从不同的多边形中找到它们的相同点

探索规律时，要认真观察，反复比较，发现规律后要验证。

美妙数学天天见，每天进步一点点。

今天的分享就到这里，咱们明天见。