还原问题（奥数专题）
1.将一个数做如下运算:乘以4,再加上112,减去20,最后除以4,这时得100.那么这个数是多少？
一个数加上3，减去5，乘以4，除以6得6．这个数是______．
解：6×6÷4+5-3=96÷4+5-3=24+5-3=29-3=26
答：这个数是26．
答：明明爷爷今年83岁
故答案为：5
．
答：正确的结果应是7809．
4.池塘的水面上生长着浮萍,浮萍所占面积每天增加一倍,经过15天把池溏占满了,求它几天占池塘的一半?
解：14天
一条幼虫长成成虫,每天长大一倍,40天长到20厘米,问第36天长多少厘米?
解析1：（倒推法）1.25cm
第 8小时： 25万个
所以，需8小时。
解析2：100/25=4=2x2，10-2=8小时， 经历了8小时
一条小虫由幼虫长到成虫，每天长大1倍（即第二天是第一天的2倍，第三天是第二天的2倍，……）。30天能长到20厘米，那么长到2.5厘米时用了多少天？
天可以长满池塘．
| 1 |
| 4 |
，这样4棵 水草正好长满池塘．
答：4棵水草28天长满半个池塘．
一种水草长得很快，每天增加一倍．如果第一天往池塘里投入一棵水草，第二天就长成两棵，第三天就长成四棵…第20天就长满池塘．第18天的时候，这些水草正好长满池塘的四分之一．
解析：先分析池塘里的水草每天增加一倍，20天长满，说明它前一天水草占半个池 塘，那么19天长到池塘的一半，再向前一天，即18天就长到池塘的 四分之一
解：20-1-1=18（天），
答：第 18天的时候，这些水草正好长满池塘的四分之一．
草原上有种牧草，每天增长2倍，长到第10天，已长牧草2187平方米。第6天时，牧草的面积是多少平方米？
解析：每天增长2倍,那就是原来的3倍,10-6+1=5，则3×3×3×3×3=243，
所以，2187÷243=9
答：第六天是9平方米
有一个正方形，以它的一条对角线为边长作新正方形；又以新正方形的对角线为边长作新正方形.如左图所示.如此这样作下去，得到第八个正方形的面积是384平方厘米.求原正方形的面积.
解析：观察图形可知，后面一个正方形的面积是前面一个正方形的面积的2倍，
依此即可得到原正方形的面积．
两棵树上共有麻雀25只，第一棵上飞到第二棵上5只，又从第二棵树上飞走7只，这时第一棵上的麻雀是第二棵上的2倍。问原来每棵上的麻雀各几只？
此时第一棵树上有麻雀：18×
| 2 |
| 1+2 |
=12（只）；
此时第二树上有麻雀：18-12=6（只）；
原来第二棵树上有：6+7-5=8（只）；
原来第一棵树上有：25-8=17（只）；
1+2+4+8+16=31（个）．
第三次前：5+2=7米
第二次前：（5+2）×2=14米
第一次前（原来）：（14+3）×2=34米
有一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少5米，还剩17米，这捆电线原来有多少米？
解析： 此题从后向前推算：
第二次用去余下的一半少5米，也就是说第二次没用以前，
是（17-5）×2=24（米）；
第一次用去全长的一半多3米，则全长的一半是24+3=27（米），
那么全长为27×2米，
[（17-5）×2+3]×2=[12×2+3]×2=[24+3]×2=27×2=54（米）；
答：这捆电线原来长54米．
一根电线，第一次用去全长的一半多5米，第二次用去余下的一半多3米，正好用完，这根电线长多少米．
解析：第二次用去余下的一半多3米，即第二次前剩3×2=6（米），
第一次前是（6+5）×2=22（米）
答：这批零件有160个．
6.李白提壶去买酒,遇店加一倍,见花喝一斗,三遇店和花,喝光壶中酒,壶中原有多少斗酒？
解析： 三遇花之前，酒是1斗， 三遇店之前，酒是1÷2=1/2（斗）
二遇花之前，酒是1+1/2=3/2（斗）， 二遇店之前，酒是3/2÷2=3/4（斗）
一遇花之前，酒是1+3/4=7/4（斗）， 一遇店之前，酒是7/4÷2=7/8（斗）
列式：[1+（1+1÷2）÷2]÷2=7/8(斗）
答：壶中原有7/8斗酒。原有0.875斗。
7.甲、乙两个车站共停135辆汽车,如果从甲站开36辆到乙站,从乙站开45辆到甲站,这时乙站车是甲站的1.5倍.乙原来停多少辆车？
解析：倒推法。
乙站停的车辆数是甲站停的1.5倍，135/2.5=54，
说明此时甲站有54辆，乙站有54×1.5=81辆，
那甲站开出36辆，开进45辆才达到54辆，所以一开始甲站有54-45+36=45辆，
乙站开出45，开进36辆才有81辆，所以一开始乙站有81-36+45=90辆。
所以原来甲站停了45辆，乙站停了90辆。
8.农业站有一批化肥,第一天卖出一半又多15吨,第二次卖出余下的一半多8吨,第三次卖出180吨,正好卖完,这批化肥原来有多少吨？
解析：第二次卖出余下的一半多8吨，第三次卖出180吨
显然第三次卖出的是余下的一半少8吨 = 180吨，
则余下的是（180 + 8）×2 = 376
第一天卖出一半多15吨，余下的376是一半少15吨。
因此原来一共有 = [（180 + 8）×2 + 15 ]×2 = 782 吨
批发站有若干筐苹果,第一天卖出一半,第二天运进450筐,第三天又卖出现有苹果的一半又50筐,还剩600筐,这个批发站原有多少筐.
解：[(600+50)x2-450]x2=1700
一筐鸡蛋，第一天吃了全部的一半，第二天又吃了余下的一半，第三天又吃了4只，刚好吃完。这筐鸡蛋有多少只？
解：4×2×2=16（只）
答：这本卡通书共有90页．
第三个猴子拿了：0.5+0.5=1（个）；
第二个猴子拿了：1.5+0.5=2（个）；
第一个猴子拿了：3.5+0.5=4（个）；
所以共有：1+2+4=7（个）．
答：这堆桃子共有7个．
| 1 |
| 2 |
+0.5]÷
| 1 |
| 2 |
+0.5}÷
| 1 |
| 2 |
={[3+0.5]÷
| 1 |
| 2 |
+0.5}÷
| 1 |
| 2 |
={7+0.5}÷
| 1 |
| 2 |
=15（个）；
答：原来有桃子15个．
猴子摘桃，第一天摘了树上桃子的一半，第二天又摘了余下桃子的一半，这时树上还有15个桃子，原来树上有多少个桃子？
解析：根据“第二天又摘上了余下桃子的一半，这时树上还有15个桃子”可得，
15个桃子就是第一天摘完剩下的一半，所以第一天剩下15×2=30个，
则这30个桃子又是原有的桃子总数的一半，据此可求出原有桃子30×2=60个
15×2×2=60（个）；
答：原有桃子60个．
猴子摘桃，第一天摘了树上桃子的一半多1个，第二天又摘上了余下桃子的一半少1个，这时树上还有15个桃子，原来树上有多少个桃子？
解析：根据“第二天又摘上了余下桃子的一半少1个，这时树上还有15个桃子”
可得，15-1=14个桃子就是第一天摘完剩下的一半，
所以第一天剩下14×2=28个，
则这28+1=29个桃子又是原有的桃子总数的一半，
据此可求出原有桃子29×2=58个．
[（15-1）×2+1]×2=[14×2+1]×2=29×2=58（个）；
答：原有桃子58个．
猴子摘桃，第一天摘了树上桃子的一半多1个，第二天又摘上了余下桃子的一半多1个，这时树上还有15个桃子，原来树上有多少个桃子?
就是说第一天摘了后还剩 15+1+16=32
那么没摘前就是 32+1+33=66
答：这棵桃树原有51个桃子．
答：他原有存款550元。
卖给第四个顾客以后剩下：（3+0.5）×2=7（个）；
卖给第三个顾客以后剩下：（7+0.5）×2=15（个）；
卖给第二个顾客以后剩下：（15+0.5）×2=31（个）；
卖给第一个顾客以后剩下：（31+0.5）×2=63（个）；
小贩原来有西瓜：（63+0.5）×2=127（个）；
有一堆桃，第一个猴子拿走了这堆桃的一半加半个桃子，第二个猴子又拿走了剩下桃的一半加半个，第三个猴子拿走了最后剩下的桃的一半加半个，桃子正好被拿光。问：这堆桃子原来有几个？
解析： 据题意可知：
第二个猴子拿了：1.5+0.5=2（个）；
第三个猴子拿了：3.5+0.5=4（个）；
所以共有：1+2+4=7（个）．
一群猴子分一堆桃子，第一个猴子取走了一半零一个，第二个猴子取走剩下的一半零一个，……直到第七个猴子按上述方式取完后恰好取尽。这堆桃子一共有多少个？
解析： 先求出第5个猴子拿走以后剩余桃子数，即（0+1）×2=2（个）；
然后求第4个猴子剩桃子数为（2+1）×2=6（个）；…，依次类推，
最终得出结果．
第3个猴子剩桃子数为（6+1）×2=14（个）；
第1个猴子剩桃子数为（30+1）×2=62（个）；
原有桃子数为（62+1）×2=126（个）．
答：这堆桃子一共有126个．
一个粮仓有大米若干袋，第一次运出大米的一半多10袋，第二次运出余下的一半多10袋，第三次又运出余下的一半多10袋，这时粮仓内还剩下10袋大米，每袋大米重50千克。这个粮仓原来一共有大米多少千克？
| 1 |
| 2 |
，
| 1 |
| 2 |
，
| 1 |
| 2 |
，
220×50=11000（千克）；
解析2：最后第五只猴吃掉一只桃子后分成5份，每份是x只桃子，则共有：
{《[（5x+1）×5/4+1] ×5/4+1》×5/4+1}×5/4+1只桃子，
{《[（5x+1）×5/4+1] ×5/4+1》×5/4+1}×5/4+1
=5x（5/4）4+（5/4）4+（5/4）3+（5/4）²+5/4+1
=3125x/256+1×（1－1.255）/（1－5/4
=3125x/256+（3125/1024－1）/（1/4）
=3125x/256+3125/256－4
=（3125/256）（x +1）－4，
（3125/256）（x +1）为（正整数， x +1=256，∴min x=255，
（3125/256）（x +1）－4=3125－4=3121。
检验：
A猴分配式——（3121－1）/5=624，3120－624=2496；
B猴分配式——（2496－1）/5=499，2495－499=1996；
C猴分配式——（1996－1）/5=399，1995－399=1596；
D猴分配式——（1596－1）/5=319，1595－319=1776；
E猴分配式——（1276－1）/5=255，
检验结果无误。
这堆桃子至少有3121只。
五只猴子分一堆桃子.第一只猴子先去把桃子分成五份，拿走了自己的一份；第二只猴子以为谁也没来分过，把剩余的桃子又分成五份，拿走了自己的一份.以后每只猴子都以为谁也没来分过，都把剩余的桃子分成五份，拿走了自己的一份，最后还剩下1024个桃子.问这堆桃子原来是多少个？
解：1024÷(1一1/5)÷(1一1/5)÷(1一1/5)÷(1一1/5)÷(1一1/5)=3125
水果批发站，第一天批发出水果是库存的一半少20箱，第二天又批出剩余的一半多30箱，第三天运进200箱水果，使库里的水果增加了2倍，求原有水果多少箱？
解析： 使库里的水果增加2倍，即第二天又批出剩余的一半多30箱后，
还剩下200÷2=100（箱），
则第二天没批之前有（100+30）×2=260（箱）；
所以原来有：（260-20）×2=480（箱）
解：200÷2=100（箱）
（100+30）×2=130×2=260（箱）
（260-20）×2=240×2=480（箱）
答：原有水果480箱．
三筐苹果共重 120 斤，如果从第一筐中取出 15 斤放入第二筐，从第二中取出 8 斤放入 第三筐，从第三筐中取出 2 斤放入第一筐，这时三筐苹果的重量相等，问原来第二筐中有苹果多少斤？
解析：经过三次取放以后，这时三筐苹果的重量相等，也就是每筐120÷3=40（斤）
根据“从第一筐中取出15斤放入第二筐，从第二中取出8斤放入第三筐”，
则第二框增加了15-8=7（斤），那么第二框原有苹果40-7=33（斤）．
原来第二框有：40-（15-8）=40-7=33（斤）；
答：原来第二筐中有苹果33斤．
有甲、乙、丙三个数．从甲数取15加到乙数．再从乙数取18加到丙数．最后从丙数取12加到甲数，这时三个数都足180．甲、乙、丙三个数原来各是多少？
分析：根据“再从乙数取18加到丙数，最后从丙数取12加到甲数．这时三个数都是
180”根据这个条件，就可以求出丙原有的数，即180+12-18，
根据“从甲数取15加到乙数，最后从丙数取12加到甲数，”甲数原有多少，
我们就可以求出来了，即180+15-12，
最后根据“从甲数取15加到乙数，再从乙数取18加到丙数，”
即可求出乙原有多少．
解：丙：180+12-18=174，甲：180-12+15=183，乙：180+18-15=183
答：甲、乙、丙三个数原来各是183，183，174．
张王李赵4个小朋友共有课外读物200本。为了广泛阅读，张给王13本，王给李18本。李给赵16本，赵给张2本，这是4个人的本数相等，他们原来各有多少本？
解析：相等时 他们各有200/4=50本书，
张原有书50+13-2=61本 王原有书50+18-13=55本
李原有书50+16-18=48本 赵原有书50+2-16=36本
解法2：5÷（1-1/2）÷（1-1/2）÷（1-1/2）÷（1-1/2）÷（1-1/2）=160（千克）
9.四个袋子共有168粒棋子,小红过来一看,把棋子作如下的调整,把丁袋调3粒到丙袋,丙调6粒到乙袋,乙又调6粒到甲袋,甲袋调2粒到丁袋,这时,四个袋子的棋子一样多,乙袋原来有多少粒棋子？
解析：四个袋子棋数一样多，而一共的棋子不变的话，那么如果四个袋子的棋子一样
多，每个袋子就是42颗，到最后，
甲比原来多了4颗，乙不变，丙少3，丁少1，
因为乙不变有42颗棋，所以乙原来就有42颗
小明原有：30+3=33（张），小敏原有：30+5-3=32（张），
小亮原有：30-5=25（张），
甲、乙、丙、丁四个小朋友有彩色玻璃弹子100颗，甲给乙13颗，乙给丙18颗，丙给丁16颗，丁给甲2颗后四人的个数相等。他们原来各有子弹多少颗？
解：甲-13+2=乙+13-18=丙+18-16=丁+16-2
即：甲-11=乙-5=丙+2=丁+14
即：甲=丁+25,乙=丁+19,丙=丁+12
另外.甲+乙+丙+丁=100
所以,丁=11
所以,甲=36,乙=30,丙=23
所以,甲分得了36颗,乙分得了30颗,丙分得了23颗,丁分得了11颗
100÷4=25颗
25+13-2=36颗——甲，25+18-13=30颗——乙
25+16-18=23颗——丙，25+2-16=11颗——丁
10.一筐桔子,把它四等分后多一个,取走3份又一个,剩下的四等分后又剩一个,再取走3份又一个,剩下的四等分又剩一个,那么原来至少有多少个桔子？
解析：这一筐桔子一共四等分了三次。第三次四等分后，剩下了一个，
则最后一次的时候至少应该有5个桔子（5÷4=1…1)；
第三次分的桔子就是第二次四等分中的一份，
因此第二次至少应该是21个桔子（5×4+1=21）；
第二次分的桔子又是第一次四等分中的一份，
因此第一次分的时候，桔子至少有85个（21×4+1=85）
有一堆糖果，妈妈把它分成三等份后还多一块糖，妈妈留下其中的一份和多出的一块糖，其余的分给哥哥；哥哥把所得的糖分成三等份，也多出一块糖，哥哥留下其中的一份和多出的一块糖，又把其余的给了我，我学着哥哥和妈妈也把它分成三等份，还是多一块糖，你知道妈妈那里一开始至少有多少块糖吗？
解析：至少数量=【（3×3+1）÷2×3+1】÷2×3+1
=16÷2×3+1
=25（块）
所以第三次卖出3÷1/2=6个
则第二次卖出1/3，还有1-1/3=2/3 ，再卖出4个则还剩6个
所以第二次卖以前有(6+4)÷2/3=15个
第一次卖出1/4，还有1-1/4=3/4 ，再卖出6个，还有15个
所以第一次卖以前有 (15+6)÷3/4=28
甲第二次给乙1/3前,甲有8÷（1-1/3）=12个,乙有16-12=4个
乙给甲前,乙有4÷（1-1/3）=6个,甲有16-6=10个
原来甲有10÷（1-1/3）=15个,乙有16-15=1个
袋子里有若干个球,小明每次拿出其中的一半,再放回一个,一共做了5次,袋中还有3个球,问原来袋中有几个球?
解析：因为5次后剩下3个球，如果第5次操作中不放回一个，就只有3－1＝2个球；
所以第4次操作后袋中有(3－1)×2＝4(个)球；
同理第3次操作后袋中有(4－1)×2＝6(个)球；
第2次操作后袋中有(6－1)×2＝10(个)球；
第1次操作后袋中有(10－1)×2＝18(个)；袋中原有(18－1)×2＝34(个)球
甲乙丙三人共有棋子若干,甲先拿出自己棋子的一半平分给乙丙,然后乙拿出现有的三分之一平分给甲和丙,最后丙把自己的四分之一平分给甲和乙,此时三人棋子数一样多,那么三人至少共有棋子多少?
解析：把最后三人的棋子数都看成单位1
则丙给甲乙前，丙有1÷（1-1/4）=4/3=8/6，甲有1-4/3×1/4×1/2=5/6，
乙有5/6
乙给甲丙前，乙有5/6÷（1-1/3）=5/4=10/8，
甲有5/6-5/4×1/3×1/2=5/8，
丙有4/3-5/4×1/3×1/2=9/8
甲给乙丙前，甲有5/8÷（1-1/2）=5/4=20/16，
乙有5/4-5/4×1/2×1/2=15/16，
丙有9/8-5/4×1/2×1/2=13/16
即原来甲有5/4=20/16，乙有15/16，丙有13/16，因为他们的棋子数量都是
整数，所以单位1，至少是6、8、16的最小公倍数，即48
即他们三人至少共有48×3=144个
有26块砖，兄弟2人争着去挑．弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥赶来了．哥哥看弟弟挑的太多，就从弟弟那拿了一半给自己．弟弟觉得自己能行，又从哥哥那里拿来一半．哥哥不让，弟弟只好再给哥哥5块，这样哥哥比弟弟多挑2块．最初弟弟准备挑多少块砖．
解析1：我们得先算出最后哥弟各挑多少块。只要解一个“和差问题”就知道：
哥哥挑“(26+2)÷2=14”块，弟弟挑“26-14=12”块。
12+5=17， （26-17）x2=18（块），（26-18）x2=16（块）
答：最初弟弟准备挑16块砖．
解析2：设最初弟弟准备挑x块砖，则哥哥最初挑（26-x）块，:
第一次抢砖：弟弟（x÷2）块，哥哥（26-x÷2）块，
第二次抢砖：弟弟（x/4+13）块，哥哥（13-x/4）块，
第三次抢砖：弟弟（x/4+8）块 哥哥（18-x/4）块，
18-x/4-（x/4+8）=2，x=16，
答：最初弟弟准备挑16块砖．
有26吨石子分成甲、乙两堆，乙堆运出一半给甲后，甲堆又运出一半给乙堆，这时再从乙堆运出5吨给甲堆，这样甲堆就比乙堆多2吨。最初甲、乙两堆各有多少吨？
解析：从后往前推：最后甲比乙多2吨,说明此时甲14,乙12.
甲把乙给的5还回去,甲9,乙17.
乙把甲分来的一半还给甲,甲18,乙8.
甲把乙分来的一半还给乙,甲10,乙16.
最后这个就是最初分的结果.
给丁的过程:自己2本，是剩下的1/2，那么剩下的就是4本，加上给丁的2本，是6本;
给丙的过程:上个过程里的6本，是给丙“剩下的1/3”后剩余的，那么这6本就是2/3，则
给乙的过程:上个过程里的12本，是给乙“剩下的1/4”后剩余的，那么这12本就是3/4，
给甲的过程:上个过程里的20本，是给甲“剩下的1/5”后剩余的，那么这20本就是4/5，
答:共30本
李辉和张新各搬60本图书，李辉抢先拿了若干本，张新看李辉拿了太多，就抢了一半，李辉不肯，张新就给了他10本，这时李辉比张新多4本。问最初李辉拿了多少本？
解：（120-4）÷2=58（本）120-（58+4-10）=68（本）
三人共有糖72粒,若甲给乙、丙各一些,使他们增加1倍.接着乙又给甲、丙各一些,使它们翻倍.最后丙也给甲、乙各一些,使他们翻倍.这时三人糖数相等,求三人原来各几粒?
丙给甲乙前：甲有24÷2=12颗，乙有24÷12=12颗，丙有72-12-12=48颗
乙给甲丙前，甲有12÷2=6颗，丙有48÷2=24颗，乙有72-6-24=42颗
第三堆给第一堆以前，第一堆：16÷2=8个；第二堆：16个；
第二堆给第三堆以前，第三堆：24÷2=12个；第一堆：8个；
第一堆给第二堆以前，即原来：第二堆：28÷2=14个；第三堆：12个；
| 第一堆 | 第二堆 | 第三堆 | |
| 初始状态 | 8+14=22 | 28÷2=14 | 12 |
| 第一次变化后 | 8 | 16+12=28 | 24÷2=12 |
| 第二次变化后 | 16÷2=8 | 16 | 16+8=24 |
| 第三次变化后 | 16 | 16 | 16 |
答：原来第一、二、三堆依次有22、14、12个苹果．
甲、乙、丙三个小孩分别带了若干块糖，甲带的最多，乙带的较少，丙带的最少．后来进行了重新分配，第一次分配，甲分给乙、丙，各给乙、丙所有数少4块，结果乙有糖块最多；第二次分配，乙给甲、丙、各给甲、丙所有数少4块，结果丙有糖块最多；第三次分配，丙给甲、乙，各给甲、乙所有数少4块，经三次重新分配后，甲、乙、丙三个小孩各有糖块44块，问：最初甲、乙、丙三个小孩各带糖多少块？
乙有：（44+4）÷2=24（块），
丙有：44+（44-24）×2=84（块）．
第二次分配前： 甲有：（24+4）÷2=14（块），
丙有：（84+4）÷2=44（块），
乙有：24+（24-14）+（84-44）=74（块）．
故原有：丙有：（44+4）÷2=24（块），
乙有：（74+4）÷2=39（块），
甲有：14+（44-24）+（74-39）=69（块）．
答：最初甲、乙、丙三个小孩各带糖69、39、24块．
丙在拿出钱给甲之前，甲的钱是56元的一半，即56÷2=28（元）；
乙在拿出钱给丙之前，丙就是84÷2=42元；
甲在拿出钱给乙之前，乙就是98÷2=49元；
这样甲77元，乙49元，丙42元，就是原来三人各自的钱数；
第二次拿完之后，甲有：56÷2=28（元），丙有：56+28=84（元），
第一次拿完之后，丙有：84÷2=42元，乙有：56+42=98（元），
则原来乙有：98÷2=49（元），甲有：28+49=77（元）；
所以，原来甲比乙多：77-49=28（元）．
答：原来甲比乙多28元．
有甲、乙两堆小球，各有若干个。按下面的要求移动小球：先从甲堆拿出和乙堆同样多的小球放到乙堆；再从乙堆拿出和这时甲堆同样多的小球放到甲堆。这时，甲乙两堆的小球恰好都是16个。问甲、乙两堆最初各有小球多少个？
分析：从乙堆拿球给甲堆前，甲堆有16÷2=8个小球，乙堆有16+8=24个小球；
可得：最初乙堆有24÷2=12个小球，甲堆有8+12=20个小球．
答：甲堆有20个小球，乙堆有12个小球．
下层未给上层时，上层有：128÷2=64本，
中层未给下层时，下层有：192÷2=96本，
所以上层未给中层时，中层有：224÷2=112本；
答：原来中层有112本．
有一个三层书架共放书240册，先从上层取出与中层同样多册书放在中层，再从中层取出与下层同样多册书放在下层，最后再从下层取出与此时上层同样多册书放在上层。经过这样的变动后，上、中、下三层书的册数之比是1∶2∶3。问：原来上、中、下层各有多少册书？
解析：还原法：最后一次三层的本数分别为
上层：240×（1/6）=40本；中层：40×2=80本；下层：40×3=120本
从下层取出与此时上层同样多册书放在上层,可知道上层是40/2=20本
那下层就是120+20=140本
再从中层取出与下层同样多册书放在下层,可知原下层应是：140/2=70本
中层是80+70=150本
先从上层取出与中层同样多册书放在中层,可知中层原应是：150/2=75本
那上层原来应该是：20+75=95本
所以结果就是：
最初 第一次 第二次 第三次
上层：95 20 20 40
中层：75 150 80 80
x+y+z=96
2(x-y)=2y-z=2z-(x-y)
可得：x= 44，y= 28，z= 24
书架上原来上中下层放44,28,24本书
甲：8； 乙：8, 丙：8
甲：4； 乙：4, 丙：16
甲：2； 乙：14 , 丙：8
甲：13；乙：7； 丙4
所以原来三人分别有13、7、4枚铜钱.
第三次拿之前的本数：2×（6-1）=10（本），
第二次拿之前的本数：2×（10-1）=18 （本），
第一次拿之前的本数：2×（18-1）=34 （本）；
答：原来书有34本．
甲、乙、丙、丁各有若干棋子，甲先拿出自己棋子的一部分给了乙、丙，使乙、丙每人的棋子数各增加一倍；然后乙也把自己棋子的一部分以同样的方式分给了丙、丁，丙也把自己棋子的一部分以这种方式给了甲、丁，最后丁也以这种方式将自己的棋子给了甲、乙，这时四人的棋子都是16枚。问：原来甲、乙、丙、丁四人各有棋子多少枚？
解析：从后往前推：最后甲乙丙丁是16，16，16，16，
那丁分之前甲乙丙丁是8，8，16，32，
那丙分之前甲乙丙丁是4，8，36，16，
那乙分之前甲乙丙丁是4，34，18，8，
那甲分之前甲乙丙丁是30，17，9，8，
答：原来甲有30、乙有17、丙有9、丁有8枚．
假设最后每人手头各有一个铜板，那么，
丙分前，甲有：1÷2=12（枚），乙有：1÷2=12（枚），
丙有：1+12=32（枚），
乙分前，甲有：12÷2=14（枚），乙有：12+12=1（枚），
丙有：32+14= 74（枚），
甲分前，甲14×2=12（枚），乙有：1-18=78（枚），
丙有74-18=138（枚），
最后，铜板不可分割，就得到：甲4，乙7，丙13，
一共有：4+7+13=24（枚），
答：他们三人至少共有24枚铜板．
| 1 |
| 2 |
+1）枚；
丙分铜板前，甲有：1÷2=
| 1 |
| 2 |
（枚），乙有：1÷2=
| 1 |
| 2 |
（枚），
丙有：1+
| 1 |
| 2 |
=
| 3 |
| 2 |
（枚），
乙分前，甲有：
| 1 |
| 2 |
÷2=
| 1 |
| 4 |
（枚），乙有：
| 1 |
| 2 |
+
| 1 |
| 2 |
=1（枚），丙有：
| 3 |
| 2 |
+
| 1 |
| 4 |
=
| 7 |
| 4 |
（枚），
甲分前，甲
| 1 |
| 4 |
×2=
| 1 |
| 2 |
（枚），乙有：1-
| 1 |
| 8 |
=
| 7 |
| 8 |
（枚），丙有
| 7 |
| 4 |
-
| 1 |
| 8 |
=
| 13 |
| 8 |
（枚），
最后，铜板不可分割，就得到：甲4，乙7，丙13，
一共有：4+7+13=24（枚），
答：他们三人至少共有24枚铜板．
| 1 |
| 3 |
平分给甲、丙，最后丙拿出自己的
| 1 |
| 4 |
平分给甲、乙．这时三人的棋子数正好相同．请问：三个人一共有多少枚棋子？
解析：反过来想：最后三人都是X枚，之前丙应该是
| 3 |
| 4 |
X，乙和甲都是
| 5 |
| 6 |
X；
| 5 |
| 4 |
X，丙为
| 27 |
| 24 |
X，甲为
| 15 |
| 24 |
X；
| 30 |
| 24 |
X，乙为
| 45 |
| 48 |
X，丙为
| 39 |
| 48 |
X；从这看出X一定是48的倍数，
| 30 |
| 24 |
X减去丙
| 39 |
| 48 |
等于60多，即
| 7 |
| 16 |
X=60多，所以应该等于63（7的倍数）， 所以X=144，三人一共为432枚棋子．
| 3 |
| 4 |
X，乙和甲都是
| 5 |
| 6 |
X；
| 5 |
| 4 |
X，丙为
| 27 |
| 24 |
X，甲为
| 15 |
| 24 |
X；开始为甲
| 30 |
| 24 |
X，乙为
| 45 |
| 48 |
X，丙为
| 39 |
| 48 |
X；
| 30 |
| 24 |
X-
| 39 |
| 48 |
X=63，
| 7 |
| 16 |
X=63，X=144，144×3=432（枚）
第5次以后，财迷只剩下32个铜板，相当于第5次过桥前手里有16个；
第4次过桥后给了老人32个，所以第四次结束以后手中有48个，相当于第4次过桥前手中有24个；
第四次后有：（32+16）÷2=24 （个）；
第三次后有：（32+24）÷2=28 （个）；
第二次后有：（32+28）÷2=30 （个）；
第一次原有：（32+30）÷2=31 （个）；
答：财迷身上原有31个铜板．
列表如下：
| 太郎 | 次郎 | |||
太郎送
给次郎后 |
675元 | 1325元 | ||
次郎送
给太郎后 |
900元 | 1100元 | ||
太郎送
给次郎后 |
350元 | 1650元 | ||
| 最初 | 700元 | 1300元 |
次郎送
| 1 |
| 3 |
给太郎后：太郎：675÷（1-
| 1 |
| 4 |
）=675÷
| 3 |
| 4 |
=900（元）
次郎：2000-900=1100（元）
太郎送
| 1 |
| 2 |
给次郎后：次郎：1100÷（1-
| 1 |
| 3 |
）=1100÷
| 2 |
| 3 |
=1650（元）
太郎：2000-1650=350（元）
最初：太郎：350÷（1-
| 1 |
| 2 |
）=350÷
| 1 |
| 2 |
=700（元）
次郎：2000-700=1300（元）
答：最初太郎有700元，次郎有1300元．
有甲、乙两只桶，甲桶盛了半桶水，乙桶盛了不到半桶纯酒精。先将甲桶的水倒进乙桶，倒进的量与乙桶的酒精量相等；再将乙桶的溶液倒进甲桶，倒入的数量与甲棋剩下的水相等；再将甲桶的溶液倒进乙桶，倒进的数量与乙桶剩下的溶液相等；最后再将乙桶的溶液倒进甲桶，倒入的数量与甲桶剩下的溶液相等。此时，恰好两桶溶液的数量相等。求此时甲、乙两桶酒精溶液浓度之比。
将甲桶的水倒入与乙桶的酒精量相等，此时乙桶的酒精浓度为50%，
则此时两桶的溶液的浓度比是变为：0：50%．
乙桶的溶液倒入甲桶与甲桶剩下的水相同，这步之后两桶的浓度比为
再将甲桶的溶液倒入与乙桶剩下的溶液量相等，这步之后将乙桶浓度为：
此时甲乙两桶溶液的浓度比为：25%：37.5%=2：3．
然后再将乙桶的溶液倒入与甲桶剩下的溶液量相等，则此时甲桶溶液深度是
则此时甲、乙两桶酒精溶液的浓度比是：31.25%：37.5%=3：4．
甲、乙、丙、丁四位盲人到河边钓鱼，到了中午他们把钓的鱼都放在一个篓子里，就各自躺在岸边的柳树下睡觉了。甲先醒了，就将篓子里的鱼平均分成四份，还剩一条，他带走一份先回家了；乙醒来时以为另三人还在睡觉，也把篓子里的鱼平均分成四份，还是剩一条，他也带走一份回家了；丙醒来后同样将篓子里的鱼平均分成四份，也剩一条，然后带走一份回家了；丁醒后也将篓子里的鱼分成四份，恰好分光，他也带走一份回家了。问：他们四人至少钓了多少条鱼？各带走几条？篓子里还剩几条？
| 4x-1 |
| 3 |
，4份就是
| 4x-1 |
| 3 |
×4，同理，
| 4x-1 |
| 3 |
×4÷3，
| 4x-1 |
| 3 |
×4÷3×4÷3，那么
| 4x-1 |
| 3 |
×4÷3×4÷3×4+1．由此进行推算．
| 4x-1 |
| 3 |
×4÷3×4÷3×4+1，
| (16x-1)×16 |
| 27 |
+1
因为
| (16x-1)×16 |
| 27 |
应是27的倍数，因此x=7，也就是丁拿到7条鱼．
丙拿到
| 4x-1 |
| 3 |
=9（条），乙拿到
| 4x-1 |
| 3 |
×4÷3=9×4÷3=12（条）
甲拿到9×4÷3×4÷3=16（条）
答：八戒一共讨回253个汤圆．
点评：本题关键是得出了汤圆的总数量加上3就可以被4整除4次，然后求出4个4相乘的积，再减去3即可．
小丽用4元钱买了一本《童话大王》，又用剩下的钱的一半买了一本《儿童时代》，买钢笔又用了剩下的钱的一半多1元，最后还剩4元，问小丽原来有多少钱？
解：（4+1）×2×2+4=5×2×2+4=20+4=24（元）
答：小丽原有24元．
24÷（1-15" role="presentation" style="border: 0px; margin: 0px; padding: 1px 0px; font-size: 18.3px; display: inline-block; line-height: 0; overflow-wrap: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; color: rgb(66, 59, 59); font-family: "Microsoft YaHei", DengXian, Arial, Simsun, SimHei, sans-serif; position: relative;">1515）=24÷45" role="presentation" style="border: 0px; margin: 0px; padding: 1px 0px; font-size: 18.3px; display: inline-block; line-height: 0; overflow-wrap: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; color: rgb(66, 59, 59); font-family: "Microsoft YaHei", DengXian, Arial, Simsun, SimHei, sans-serif; position: relative;">4545=30（升）
28-30×15" role="presentation" style="border: 0px; margin: 0px; padding: 1px 0px; font-size: 18.3px; display: inline-block; line-height: 0; overflow-wrap: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; color: rgb(66, 59, 59); font-family: "Microsoft YaHei", DengXian, Arial, Simsun, SimHei, sans-serif; position: relative;">1515=28-6=22（升）
（24-28×17" role="presentation" style="border: 0px; margin: 0px; padding: 1px 0px; font-size: 18.3px; display: inline-block; line-height: 0; overflow-wrap: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; color: rgb(66, 59, 59); font-family: "Microsoft YaHei", DengXian, Arial, Simsun, SimHei, sans-serif; position: relative;">1717）÷（1-13" role="presentation" style="border: 0px; margin: 0px; padding: 1px 0px; font-size: 18.3px; display: inline-block; line-height: 0; overflow-wrap: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; color: rgb(66, 59, 59); font-family: "Microsoft YaHei", DengXian, Arial, Simsun, SimHei, sans-serif; position: relative;">1313）=20÷23" role="presentation" style="border: 0px; margin: 0px; padding: 1px 0px; font-size: 18.3px; display: inline-block; line-height: 0; overflow-wrap: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; color: rgb(66, 59, 59); font-family: "Microsoft YaHei", DengXian, Arial, Simsun, SimHei, sans-serif; position: relative;">÷23÷23=30（升）
30-30×13" role="presentation" style="border: 0px; margin: 0px; padding: 1px 0px; display: inline-block; line-height: 0; overflow-wrap: normal; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; color: rgb(66, 59, 59); position: relative; white-space: nowrap; font-size: 18.3px; font-family: "Microsoft YaHei", DengXian, Arial, Simsun, SimHei, sans-serif;">1313=30-10=20（升）
答：A原有30升，B原有20升，C原有22升．
(x*(1/5)+c)*(1-1/7)=12， c=11
（x*(1/5)+c)*（1/7）+(2/3)*a=12，a=15
1/3*a+b=x，b=10
结论 A、B、C桶中的水分别为15 、10 、11
丙分后甲有（93+3）÷3=32（枚）
丙有31-1=30（枚）
丙分前是30/(1-2/5)=50个，分了各（50-30）÷2=10（枚）给甲乙后
甲是32-10=22（枚），乙是 31-10=21（枚）
重新分过以后甲=3/5*X+[1/5*X+(1/5*X+Y)*1/5+93-X-Y]*1/5+(1/5*X+Y)*1/5
乙=(1/5*X+Y)*3/5+[1/5*X+(1/5*X+Y)*1/5+93-X-Y]*1/5
丙=[1/5*X+(1/5*X+Y)*1/5+93-X-Y]3/5
那么甲-乙=1,即3/5*X-(1/5*X+Y)*2/5=1,化简3X-2/5*X-2Y=5,再化简13X-10Y=25
乙-丙=1,即(1/5*X+Y)*3/5-[1/5*X+(1/5*X+Y)*1/5+93-X-Y]*2/5=1,再化简53X+115Y=4775
求得X=25,Y=30,93-X-Y=38,
| 22 |
| 15 |
，求原三堆棋子各占棋子总数的几分之几？
| 22 |
| 15 |
）=30（枚），因此，最终甲堆棋子数是30×80%=24（枚），乙堆棋子数是30×
| 22 |
| 15 |
=44（枚）；倒推到乙堆棋子分配完毕时，甲堆应有棋子24÷2=12（枚），乙堆应有棋子44÷2=22（枚），故丙堆应有棋子：98-（12+22）=64（枚）；再倒推到甲堆棋子分配完毕时，甲堆应有棋子12÷2=6（枚），丙堆应有棋子64÷2=32（枚），故乙堆应有棋子：98-（6+32）=60（枚）；再倒推到开始状态时，乙堆应有棋子60÷2=30（枚），丙堆应有棋子32÷2=16（枚），故甲堆应有棋子98-（30+16）=52（枚）．进而求出原三堆棋子各占棋子总数的几分之几，解决问题．
| 22 |
| 15 |
）=30（枚），
甲堆棋子数是30×80%=24（枚），
乙堆棋子数是30×
| 22 |
| 15 |
=44（枚）；
甲堆应有棋子24÷2=12（枚），
乙堆应有棋子44÷2=22（枚），
故丙堆应有棋子：98-（12+22）=64（枚）；
再倒推到甲堆棋子分配完毕时：
甲堆应有棋子12÷2=6（枚），
丙堆应有棋子64÷2=32（枚），
故乙堆应有棋子：98-（6+32）=60（枚）；
再倒推到开始状态时：
乙堆应有棋子60÷2=30（枚），
故甲堆应有棋子98-（30+16）=52（枚）．
甲堆棋子占总数的52÷98=
| 26 |
| 49 |
，
乙堆棋子占总数的30÷98=
| 15 |
| 49 |
，
丙堆棋子占总数的16÷98=
| 8 |
| 49 |
．
答：原甲乙丙三堆棋子各占棋子总数的
| 26 |
| 49 |
，
| 15 |
| 49 |
，
| 8 |
| 49 |
．
则丙给甲乙前，丙有1÷（1-1/4）=4/3=8/6，甲有1-4/3×1/4×1/2=5/6，乙有5/6
乙给甲丙前，乙有5/6÷（1-1/3）=5/4=10/8，甲有5/6-5/4×1/3×1/2=5/8，
甲给乙丙前，甲有5/8÷（1-1/2）=5/4=20/16，乙有5/4-5/4×1/2×1/2=15/16，
即原来甲有5/4=20/16，乙有15/16，丙有13/16，因为他们的棋子数量都是整数
所以单位1，至少是6、8、16的最小公倍数，即48
即他们三人至少共有48×3=144个
| 1 |
| 2 |
+1）枚；依次类推分别找出乙分前，甲，乙，丙各有铜板的枚数；甲分前，甲，乙，丙的铜板的个数，最后，铜板不可分割，就得到甲，乙，丙各自最少的铜板数．
假设最后每人手头各有一个铜板，那么，
丙分铜板前，甲有：1÷2=
| 1 |
| 2 |
（枚），
乙有：1÷2=
| 1 |
| 2 |
（枚），
丙有：1+
| 1 |
| 2 |
=
| 3 |
| 2 |
（枚），
乙分前，甲有：
| 1 |
| 2 |
÷2=
| 1 |
| 4 |
（枚），
乙有：
| 1 |
| 2 |
+
| 1 |
| 2 |
=1（枚），
丙有：
| 3 |
| 2 |
+
| 1 |
| 4 |
=
| 7 |
| 4 |
（枚），
甲分前，甲
| 1 |
| 4 |
×2=
| 1 |
| 2 |
（枚），
乙有：1-
| 1 |
| 8 |
=
| 7 |
| 8 |
（枚），
丙有
| 7 |
| 4 |
-
| 1 |
| 8 |
=
| 13 |
| 8 |
（枚），
最后，铜板不可分割，就得到：甲4，乙7，丙13，
一共有：4+7+13=24（枚），
答：他们三人至少共有24枚铜板．
| 1 |
| 3 |
平分给甲、丙，最后丙拿出自己的
| 1 |
| 4 |
平分给甲、乙．这时三人的棋子数正好相同．请问：三个人一共有多少枚棋子？
| 3 |
| 4 |
X，乙和甲都是
| 5 |
| 6 |
X；再之前乙为
| 5 |
| 4 |
X，丙为
| 27 |
| 24 |
X，甲为
| 15 |
| 24 |
X；开始为甲
| 30 |
| 24 |
X，乙为
| 45 |
| 48 |
X，丙为
| 39 |
| 48 |
X；从这看出X一定是48的倍数，又甲
| 30 |
| 24 |
X减去丙
| 39 |
| 48 |
等于60多，即
| 7 |
| 16 |
X=60多，所以应该等于63（7的倍数），所以X=144，三人一共为432枚棋子．
| 3 |
| 4 |
X，乙和甲都是
| 5 |
| 6 |
X；再之前乙为
| 5 |
| 4 |
X，丙为
| 27 |
| 24 |
X，甲为
| 15 |
| 24 |
X；开始为甲
| 30 |
| 24 |
X，乙为
| 45 |
| 48 |
X，丙为
| 39 |
| 48 |
X；
| 30 |
| 24 |
X-
| 39 |
| 48 |
X=63
| 7 |
| 16 |
X=63
X=144
144×3=432（枚）
答：三个人一共有432枚棋子．
那丁分之前甲乙丙丁是8，8，16，32，
那丙分之前甲乙丙丁是4，8，36，16，
那乙分之前甲乙丙丁是4，34，18，8，
那甲分之前甲乙丙丁是30，17，9，8，
答：原来甲有30、乙有17、丙有9、丁有8枚．
则丙给甲乙前，丙有1÷（1-1/4）=4/3=8/6，甲有1-4/3×1/4×1/2=5/6，乙有5/6
乙给甲丙前，乙有5/6÷（1-1/3）=5/4=10/8，甲有5/6-5/4×1/3×1/2=5/8，丙有4/3-5/4×1/3×1/2=9/8
甲给乙丙前，甲有5/8÷（1-1/2）=5/4=20/16，乙有5/4-5/4×1/2×1/2=15/16，丙有9/8-5/4×1/2×1/2=13/16
即原来甲有5/4=20/16，乙有15/16，丙有13/16
因为他们的棋子数量都是整数
所以单位1，至少是6、8、16的最小公倍数，即48
即他们三人至少共有48×3=144个
答：乐乐最初拿了28棵．
甲：16÷2＝8（千克）
乙：16÷2＝8（千克）
丙：16＋8＋8＝32（千克）
那么乙桶油未倒入甲、丙两桶之前即为：
甲：8÷2＝4（千克）
丙：32÷2＝16（千克）
乙：8＋4＋16＝28（千克）
同样的道理,甲桶油未倒入乙、丙两桶之前的油量即为各桶原有油的数量：
乙：28÷2=14（千克）
丙：16÷2=8（千克）
甲：4＋14＋8=26（千克）
8.兄弟三人分24个苹果，每人所得个数等于其三年前的年龄数．如果老三把所得苹果数的一半平分给老大和老二，然后老二再把现有苹果数的一半平分给老大和老三，最后老大再把现有苹果数的一半平分给老二和老三，这时每人苹果数恰好相等，求现在兄弟三人的年龄各是多少岁？
前--------老二：4*2=8个。老大：16-2=14个。老三：4-2=2个
现在年龄--------老三：2*2=4个。老大：14-1=13个。老二：8-1=7个
这里男女之间有18人牵手，那么剩下的必是男男之间和女女之间牵手
两者相等，应为(60-18)/2=21人
所以如果原本牵着手的男生和男生放开手时，分成了21个小组
∴原来男生和女生各9组,交替成圈
若原来牵着手的男生和男生放开手
此时原先9个组的女生没有分开,且每组女生的首尾都带了1个男生
也就共带了18个男生进到这9个组中,
剩下的12个男生彼此分开,各自成12个组
12+9=21个组