38解析几何解法：识破天机-中点弦问题

38：识破天机 - 中点弦问题

对于解决圆锥曲线中以定点为中点的弦相关问题中,设出弦的两端点坐标,代入圆锥曲线方程得到两等式后再相减,从而得到弦中点坐标与所在直线的斜率的关系,使问题得以解决.此方法巧妙地将斜率公式和中点坐标公式结合起来,设而不求,代点作差,可以减少计算量,提高解题速度,优化解题过程,对解决此类问题确实具有很好的效果.这个方法我们称为

“点差法”.

1.椭圆中点差法的应用

已知椭圆

的方程为

,若一条斜率为

的直线

交椭圆

于

,

两个不同交点,且线段

的中点为

,

此时我们将

,

两点坐标分别带入椭圆

的方程中可得:

,

,

将两式相减得:

,

整理得:

,

又

,

,

所以可得:

.

2.双曲线中点差法的应用

已知双曲线

的方程为

,若一条斜率为

的直线

交双曲线

于

,

两个不同交点,且线段

的中点为

,

则可得结论为:

(推导过程同上)

3.抛物线中点差法的应用

已知抛物线

的方程为

,若一条斜率为

的直线

交抛物线

于

,

两个不同交点,且线段

的中点为

,

将

,

两点坐标分别带入抛物线方程中可得:

,

两式相减并整理可得:

(2018全国Ⅱ卷理)在直角坐标系

中,曲线

的参数方程为

,

(

为参数),直线

的参数方程为

,(

为参数).

(1)求

与

的普通方程;

(2)若曲线

截直线

所得线段的中点坐标为

,求

的方程.

【答案】见解析

【解析】

(1)曲线

的普通方程为

,

直线

的普通方程为

或

(当

时,其中

),计算过程略.

(2)当直线斜率不存在时,直线方程为

,与

相交截得线段中点为

,不符合题意;

当直线斜率存在时,设直线斜率为

,直线

与椭圆

交于

,

两点,设

,

将

两点坐标带入

可得,

,

,将两式相减并整理可得,

,即

,解得

,则直线

的方程为

.

【点评】已知直线与椭圆交于两点且已知弦中点坐标,可利用点差法快速求得直线斜率,进而求得直线方程.

1.(改编)若直线

交椭圆

所得的弦

的中点为

,则椭圆

的离心率为__________.

2.(改编)若点

平分双曲线

的一条弦,则这条弦所在直线的方程为__________.

3.(改编)直线

与抛物线

交于

两点,若

恰为线段

的中点,则抛物线的方程为__________.