生活中的趣味数学问题

教学背景

“打电话”这一综合实践活动，是人教版数学五年级下册的内容，以1位带队老师需要打电话通知200名学生，每通知1名学生需要1分钟，最快需要几分钟为情境，经历化繁为简，猜想验证，发现规律，应用规律，寻找最优方案的过程。在学习活动中实践第一，体会数学的优化思想，发展高阶思维，感受数学知识的魅力。

课堂实录

环节一：情境引入（5分钟）

师（出示PPT）：同学们，今天我们要共同探究一个很有意思的问题，请一位同学朗读。

生：在一次集体活动演练前，由于天气原因，训练临时变动。1位带队老师需要打电话通知200名学生，每通知1名学生需要1分钟，最快需要几分钟？如果你是老师你打算怎么通知？

师：同学们，猜想一下可以怎样通知？

生1：可以一个一个进行通知，也可以找人帮忙一起通知。

师：找人帮忙似乎是个好办法，怎么帮忙？

生2：可以分成2组、3组，各找一个组长，老师先通知组长，组长再通知组员，应该能节省不少时间。

师：同学们的思路真棒，表达也很清晰。那有了这些猜想，我们就要进行验证。

环节二：探究方案（25分钟）

师：1位老师通知200名学生这个问题比较复杂，研究复杂问题时，我们该如何进行探究？

生：找较小的数字试一试。

1. 化繁为简

师：同学们，你们觉得这个较小的数字找哪个数呢？

生：打给1个人、2个人、3个人、5个人……

师：好，那我们先由1位老师打给1位学生、2位学生、3位学生画画看。

（学生画图，从打给2个学生开始出现方案的不同，从打给3个学生开始出现表示方法的不同）

师：（渗透同时打电话、优化表示方法）打给2位学生出现了不同的画法，你能发现区别吗？

生1：打给2个学生需要2分钟，第2个学生可以由老师通知，也可以由第1个学生通知。

师：打给1个学生需要1分钟，打给2个学生需要2分钟，打给3个学生按规律需要3分钟，为什么会出现需要2分钟的方案？

生2：第2分钟，老师和知情的第1个学生可以同时通知。

【设计意图：学生自主选择适当的被通知人数，寻找解决问题的思路，发展创造思维】

2. 初步感知

①设计方案

师：同学们，打给15个学生至少需要几分钟？请小组讨论并画出方案。

（实物投影展示学生方案，并讲解本组方案）

师：你为什么这样设计？

生：（方案1）我想让打电话的时间最短，所以让组长帮忙通知。

②选出最优方案

师：你喜欢哪个方案，说说你的想法？

生1：我最喜欢方案1，因为最清晰。

生2：我最喜欢方案3，因为最省时。

师：说得非常好。老师把几种通知方法都贴在了黑板上，有“逐一通知”、多种方式“分组通知”等，还有这几个关键词：省时、费时、传达清晰、传达易混乱，请同学们贴在这几种通知方法的旁边。

（学生上讲台贴关键词）

师：我们的问题是“至少需要几分钟”，那么应该选择哪一个为最优方案？

生3：最省时的方案。

③最优方案的特点

师：刚才我们已经选出最优方案，那是怎么让通知的时间最少？

生：在每分钟里，让当时知情的全部人员都帮忙通知。

师：分组通知时还有学生是空闲的，只有接到消息后马上继续通知其他队员才最节省时间。

【设计意图：分析最优方案的特点，发展分析思维。时间怎么变少了？学生在认知冲突中思考节省时间的方法，从而发现同时打、不空闲能节省时间，提高学生发现规律的能力，体会本题的优化思想，追求最佳答案】

④优化最优方案画法

师：同学们，第3分钟，谁通知了谁？你是否能从图中一目了然看出来？

生：不能，因为画得比较乱。

师：请对我们最优方案的画法进行改良，让我们清晰地看出第3分钟，谁通知了谁？可以小组讨论。（见左下优化后方案）

（小组再次讨论，优化方案。全班交流展示，并对最佳方案进行整理）

3. 发现规律

师：通过刚才的活动我们发现，打电话可以有不同的方法，在这些不同的方法中我们找到了用时最省的方案。现在让我们一边回顾，一边填写表格。

生：填写表格。

师：知道消息的总人数包括老师吗？

生1：包括。

师：每分钟知情人数与上一分钟知情人数之间有什么关系？

生2：每分钟知情人数是上一分钟知情人数的2倍。

【设计意图：发现规律，并说明原因，发展分析思维。通过对按照最优方案打电话的过程的回顾与猜想，找到“人数倍增”的规律，实现数学的抽象】

环节三：应用规律（7分钟）

1. 解答问题（问题串）

师：如果还有更多的人需要被通知，按上述的通知方法，第5分钟结束后，会有多少人知情？

生：32人。

师：如果小林要打电话通知50名同学，最少需要多少分钟？

生1：6分钟。

师：照这样，通知32个学生至少需要几分钟？

生2：通知32个学生，加上老师要33人知情，至少需要6分钟。

师：6分钟最多可以通知多少学生？

生3：最多可以通知63名学生。

师：照这样，通知200名学生需要几分钟？

生4：9分钟。

2. 预案

师：找到了这个最优方案，现在我可以通知了吧？想一想，会出现什么情况？

生：可能会出现通知混乱。

师：就像我们刚才优化画法一样，如果我们提前有预案，每个数字代表各自的学号，提前把预案图发给各位同学，一旦有紧急情况，你是不是就知道接到通知后要通知谁了？

生：是的。

课后反思

本节课略显仓促，如果可以更充分地给学生时间讨论、交流，并加一两个相似情境，举一反三，加深方法与知识的理解，会更为完整。

本节课为高阶思维研究课，在实践教学中，应注意以下几点：

1. 目标导向。分析教学内容和学生情况，制定有关高阶思维培养教学目标，从关注知识传递到关注学习过程的教学重心转换。

2. 情境创设。情境促使学生探索方案设计，促进学生创造思维。创设一个需要探索的情境，学生在情境中主动进行探究，设计方案，发展创造思维。

3. 猜想验证。猜想是一种重要的思维方法，是创新的前奏。在课堂上自主猜想，并在实践中进行验证，发展创造、分析思维。

4. 比较分析。对比不同方案，给学生思考时间，并多角度评价每一种思路的优缺点，在说出原因过程中发展分析思维和评价思维。

5. 问题引导。通过问题引导，归纳概括，寻找规律，发展学生分析思维和创造思维。以层次性、逻辑性、可扩展性、可迁移性的问题串贯穿、优化学生整个学习过程。

（作者单位系北京市日坛中学实验学校）

作者：高 笑