平方消参法求解普通方程
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平方消参法求解普通方程
Ø方法导读
在坐标系与参数方程选修中,每年高考都会出一个
分的选做题,难度中等,主要涉及参数方程、极坐标方程与直角坐标方程之间的互化,以及利用参数或极径或极角的几何意义求解相关的数量等.在解这类题中,常见的问题有将参数方程化为普通方程,方法就是消参法,但具体怎么消参,因题而异,大部分的参数方程消参都不难,如一次幂型的消参,只需将参数表示出来,代入另外一个式子化简即可,又如带三角函数的,就利用三角函数的恒等关系消参,如平方和关系,二倍角关系等,但有一类参数方程消参比较困难,因为参数式子中参数最高是二次幂,也包含一次幂代数式,而且要单独表示出参数的式子比较困难,代入另外一个式子化简也不容易,计算量比较大,这种类型的参数方程化为普通方程后一般为解几类型的方程.本专题就这种类型的参数方程做详细分析,引入“平方消参法”讲解下这种类型的参数方程的消参,希望能对同学们有所启发.
Ø高考真题
【
·全国
卷理·
】在直角坐标系
中,曲线
的参数方程为
(
为参数).以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
.
(1)求
和
的直角坐标方程;
(2)求
上的点到
距离的最小值.
Ø解题策略
本题第一问直接就是求直角坐标方程,曲线
的参数方程为
(
为参数),形式比较复杂,最高次幂为
,很难将
直接表示出来,代入另外一个式子化简,而且
在开方的时候也有正负之分,故将
表示出来代入另一个式子化简不太容易,费事费力,不可取.若将
分离常数,则
,然后结合它与
之间的关系得到
,然后代入其中一个参数式化简求解也可以得到答案,但这种关系很难想到,计算也较为复杂,不适合在有限的考试时间里去观察求解,故不太可取.因为参数方程中也没有三角函数的参与,故利用三角函数关系式来化简也是不可取的.怎么办呢?接下来引入今天的“平方消参法”,探究一下平方之后带来的神奇效果.首先将
平方得到
,
,然后配上相应的系数,将分子分母中的参数消掉.分母展开后为
,而分子相加后只有
的系数不符消参的要求,故将
配以
的系数,在与
的分子相加即可分子分母相消,得到
,即
,根据分离常数
可得
,这样就得到
的直角坐标方程了.
Ø解题过程
(1)曲线
:由题意得
,
,则
,即
,
又
可得
,
故
的直角坐标方程为
.
而直线
:将
代入即可得到
.
(2)将曲线
化成参数方程形式为
(
为参数),
则
上的点到
距离
,
所以当
时,距离最小,最小值为
.
Ø解题分析
上述参数方程化为普通方程采用了“平方消参法”,相对去将
表示出来,在代入其中一个参数式进行化简要容易很多.又参数方程本身比较复杂,很难看出
之间的关系式,采用分离常数然后得到
,这种处理方式不常见,也不容易想到.而“平方消参法”相对来说就简单很多,平方之后配以相应的系数,在作差或作和得到一个恒等式,简单明了,思路清晰,这一类参数方程化简之后,普通方程一般为解几方程,所以根据解几方程的特征,反过来思考,也可证实“平方消参法”是化简解几参数方程的最佳路径.
Ø拓展推广
“平方消参法”一般策略:
第一步:将
的参数表达式分别平方;
第二步:根据平方之后分母的特征,将
配以相应的系数;
第三步:将配好系数的
进行相加或相减,消去参数,得到方程;
第四步:观察
参数式的特征,得到其定义域.
其实“平方消参法”就是利用了解几方程的特征,反推出来的一种消参的方法,参数方程需满足平方相消的特点,否则不宜使用“平方消参法”,最后注意方程定义域的范围,方可大功告成.
其它常见消参题型:
(1)一次幂型消参,将参数表示出来代入另一个式子或将含参数的某一部分当成一个整体进行替换即可.
例:1.
,将
代入
得
,化简得
.
2.
,将
看成一个整体,所以有
,代入
得
,即
.
(2)三角参数型消参,利用三角恒等式求解,使用最多的恒等式为
.
例:1.
,将
分别平方,然后利用
化简得
.
2.
,利用
化简得
,即
.
(3)抛物线型消参,只需将一次幂的参数表达式代入另一个参数式化简即可.
例:
,将
代入
中,得
,即
.
变式训练1
在直角坐标系
中,曲线
的参数方程是
(
为参数),以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线
的普通方程和直线
的直角坐标方程;
(2)过曲线
上的任意一点
作与
夹角为
的直线,交直线
于点
,求
的最大值与最小值.
变式训练2
在平面直角坐标系
中,曲线
的参数方程为
(其中
为参数),在以
为极点,
轴非负半轴为极轴的极坐标系(两种坐标系的单位长度相同)中,直线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线
的极坐标方程;
(2)求直线
与曲线
的公共点
的极坐标.
变式训练3
在平面直角坐标系
中,已知曲线
(
为参数),以坐标原点为极点,
轴正方向为极轴,建立极坐标系,曲线
与曲线
交于第一象限内的点
.
(1)求曲线
的极坐标方程及点
的极坐标;
(2)若
为曲线
上一点,且
,求
.
变式训练4
在直角坐标系
中,曲线
的参数方程为
(
为参数),以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线
的极坐标方程是
.
(1)求曲线
的普通方程与直线
的直角坐标方程.
(2)曲线
上的点到直线
距离的最小值.
变式训练5
在直角坐标系
中,直线
经过点
,其倾斜角为
,以原点
为极点,以
轴非负半轴为极轴,与直角坐标系
取相同的长度单位,建立极坐标系,设曲线
的参数方程为
(
为参数),曲线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线
的普通方程和极坐标方程;
(2)若直线
与曲线
有公共点,求
的取值范围.
答案
变式训练1
见解析.
(1)
,平方相加后得
,
又
,
即曲线
的普通方程为
,
∵直线
的极坐标方程为
,即
.
∴直线
的直角坐标方程为
.
(2)∵点
为曲线
上的任意一点,
∴设点
的坐标为
,
则点
到直线
的距离为
,
∴
,其中
.
当
时,
取到最小值为
,
当
时,
取到最大值为
.
变式训练2
见解析.
(1)将
分别平方,然后作差,消去参数
,得曲线
的直角坐标方程
.
将
代入
,得
.
所以曲线
的极坐标方程为
.
(2)将
与
的极坐标方程联立,消去
得
.
展开得
.
因为
,所以
.
于是方程的解为
,即
.
代入
可得
,所以点
的极坐标为
.
变式训练3
见解析
(1)将
中的
平方得
,故
,
∴曲线
的普通方程为
,化为极坐标方程为:
,
将
代入,得
,解得
,
∴
,所以点
的极坐标为
.
(2)设
点的极坐标为
,由
,得
,∴
,将
代入曲线
的极坐标方程,
得
,所以
.
变式训练4
见解析
(1)∵
且
,
∴曲线
的普通方程为
,
∵
,
∴
,
∴
的直角坐标方程为
.
(2)由(1)可设
的参数方程为
(
为参数),故曲线
上任意一点坐标为
,
∴曲线
上的点到直线
的距离为
,其中
.
当
时,
,
∴曲线
上的点到直线
距离最小值为
.
变式训练5
见解析.
(1)显然,参数
,由
得
,
将
分别平方,得
,所以
,
∴
,
将
,
代入
,得
,
即
.
∴曲线
的普通方程为
,
极坐标方程为
.
(2)曲线
的直角坐标方程为
,
曲线
是以
为圆心,半径为
的圆.
当
时,直线
与曲线
没有公共点,
当
时,设直线
的方程为
.
圆心
到直线
的距离为
.
由
,得
.
∴
,即
的取值范围为
.