2020中考数学压轴题解析

这道题确实有一定的难度，第一小题和第二小题的第一部分还算是可以，过程比较少，但最后一个问题需要一些计算量，所以过程估计多点。

如果同学思考分析条件的思维很熟练，那么应该能在10分钟内搞定全部的思路方法。

分析：

第一小题给出了圆的半径，还有∠A的度数，那么可以得到△OCB是等边，所以BF是垂线，那么△ABF是直角三角形，则FE是斜边中线，等于AB一半，只要解出AB即可，根据∠A的三角函数值可得AB，则EF可求；

第二小题的内容其实并不算太难，但是有些东西可能不是一下子就想到的，比如要证明PE=PF，没有了度数，也没有了垂直，你可能第一眼会认为△OEF是不是等腰呢？只有第一小题的情况下OE才和OF相等，所以想用三线合一是不行的，那么就难搞了吧。PE和PF在一条线上，证明它们相等，根据学过的证明线段相等的常用方法，除了全等就是等腰，要么就是直接来中点，而这里貌似全等不行，等腰没门，直接告诉你P是中点更是扯淡，所以同学们可能会在这里有点穷途末路的感觉，但是，问题既然给出了，除非题目本身有毛病，否则肯定能找出方法来解决的。

我们再仔细观察一下PE和PF所在的位置，如果要P是中点，而这里的OP和EF肯定是斜着相交了，想想E和F都是什么玩意儿？中点呀，同时O也是一个中点呀，既然都是中点，我们就不妨看看用中位线能搞出什么吧。我们在OB上取个中点，

假设OB中点为G，顺便连接EG和FG，现在光看图可能有的同学就能看出点门道了，既然都是中点，那么OE//BC//FG,EG//AF，这不是平行四边形吗？所以四边形OEGF是平行四边形，那么对角线互相平分，则PE=PF可证；

至于最后一个问题，当DF=EF时，求∠BAC的度数，着实不是一下子就能看出来的，根据以往的经验，DF和EF这种位置关系，首先能想到构成等腰三角形，但是我们如果连接DE好像也弄不出其他角的关系来，感觉有点鸡肋，所以这里的相等线段很可能不是这么用的，或者说我们还能找到和DF、EF相等的其他线段出来进行等量代换，那么我们先抛开这些，假设我们知道∠BAC了，想想怎么去表示出来DF和EF呢？

我们知道要计算出EF肯定要借助勾股定理，所以必须让EF放入直角三角形中，所以最简单的就是延长FG和AB相交，

如图，根据刚才我们知道FG//BC，所以FH⊥AB，这样垂线就出来了，那么我们就用勾股定理去计算EF吗？观察一下此刻的图形，OE、FH、BC三线平行，而且F是OC中点，那么H不就是BE中点吗？所以FH是BE的垂直平分线，那么EF=BF，现在线段转换了，则DF=BF，△FDB是等腰三角形，既然是等腰三角形了，那么三线合一肯定要有，O是BD中点，则OF⊥BD，（虽然图上看着不像，但是想象一下吧），这样一来AF和BD就是垂直的，那么△AOB就是等腰直角了，则∠BAC为45°；

解题过程：