第十四讲：怎样引导孩子自学数学？
有效的数学学习往往显示为三个特点：一是母题意识或例题意识。二是适度超前学习。三是通过猜想和类比的方式来获得“解题”的直觉或灵感。
一、适度超前学习：为什么数学学习特别容易掉队？
学习任何一门学科都需要学生自学，但是，在语文、数学、外语、历史、地理等各种学科之中，数学尤其需要自学，尤其需要超前学习。原因在于，听讲式的学习总是容易走神、开小差。无论教师如何提醒学生“上课认真听讲”、“不做小动作”，“要集中注意力”，“不要开小差”，但学生总会在某个时刻走神而想入非非。
在其他学科比如语文或历史的课堂教学中，学生偶尔走神、开小差之后尚可以觉醒而继续听讲，只要继续听讲，就可以继续领会，回头是岸。甚至，若学生因意外事故中断一周或一个月的语文听课，学生再次返回语文课堂时，依然可以顺利地延续学习。
但是，数学的教材以及教学与其他学科的教材和教学有显著差异。语文、历史等学科的教材以及教学呈现为“苹果袋式”的结构，人们可以从苹果袋中在任何时间任何地点取出一个苹果。但是，数学的教材以及教学呈现为台阶式的结构。学生如果因开小差或其他原因没有爬过第一级阶梯，那么，他尚可能艰难地直接跳跃到第二级阶梯。可是，如果学生因开小差或其他原因没有爬过第一级和第二级阶梯，那么，他就几乎不可能飞跃到第三级阶梯。因此，在数学课堂教学中，学生如果偶尔走神、开小差或其他意外事故而中断三五天的数学学习之后，学生再次回头听课时，就很难听懂数学老师的讲课。
既然学生在听课过程中走神、开小差是不可避免的，既然数学的教材以及教学呈现为台阶式的结构，那么，为了不让自己在数学学习中掉队，学生学习数学的唯一办法是选择“自学”的道路并由此而进入“超前学习”的状态。
学生在自学数学的过程中虽然最初会感到困难，但是，学生一旦以自学的方式对待数学，数学教材就被转化为类似语文、历史等学科的结构。学生可以在任何时刻任何地方开始自学数学，而且，学生可以在暂停学习数学之后并不因暂时的中断而被淘汰出局，因为，学生可以在暂时中断自学数学之后在任何时刻任何地方重新开始自学数学。
适度超前还有一个好处：它可以让孩子具有数学的整体意识，具有德国数学家克莱因倡导的“高观点下的初等数学”意识。
“高观点下的初等数学”可以有多重解释，它在这里至少意味着整体教学或整体学习。比如，当学生初次接触某个初级的数学知识时，可能会被这个新的陌生的数学知识挡住了学习的去路。但是，当学生对那些相关的数学知识有所了解，或者，当学生了解了这个新的陌生的数学知识的来龙去脉时，这个初级的数学知识可能就立刻显得简单而“小菜一碟”。
适度超前学习数学之所以重要，也正因为适度超前学习可以让孩子在学习了比较“高难度”的数学之后，再回头学习“低年段”的数学时，他会发现低年段的数学原来那么简单。会当凌绝顶，一览众山小。
二、强化母题意识或例题意识，从答题者变为命题者
数学课本有一个特色，这个特色为自学数学提供了便利。这个特色就是：数学课本往往是例题加练习题。先有例题，然后有练习题。如果学生能够阅读并理解例题，学生就能够做例题后面的练习题。因为练习题跟例题很像，它由例题演变而来。练习题就是例题的变式。例题也可以称为“母题”，由例题变化而来的各种练习题可以称为“子题”。自学数学时，要强化母题意识或例题意识。
家长和老师可以孩子多观察练习题与例题之间的相似性或类似性。学会用例题（母题）的解题思路，去解答练习题（子题）。
不仅如此，家长和老师还可以引导孩子亲自根据例题来编制各种类似的练习题，让孩子由“答题者”转换为“命题者”。由“答题者”转换为“命题者”的第一个好处是，命题者的角色可以让孩子不知不觉变得比较自信。孩子在考自己或考别人的过程中，他会产生主人、主体、小老师的体验。由“答题者”转换为“命题者”的第二个好处是，孩子会更加充分、更加彻底地理解例题。为了能够变着花样去考自己或考同学，他不得不回到例题（母题），完整而彻底地理解例题。只有完整而彻底地理解例题或母题了，他才有可能编制各种变式题。
三、数学中的猜想、类比与直觉
在数学教育研究领域，至少有三个学者提供了比较重要的学习思路：一个是前面提到的德国学者克莱因。克莱因的书《高观点下的初等数学》这个书名就提示了数学学习的重要思路。另外两个人是美国学者波利亚和荷兰学者弗莱登塔尔。波利亚在《怎样解题》提出了一个重要概念：猜想。同样，弗莱登塔尔在他的《作为教育任务的数学》中也强调了“猜想”对于数学学习的重要意义。
波利亚认为，“怎样解题”的秘密是“猜想”（plausible reasoning，也译为“合情推理”），也因此波利亚在发表《怎样解题》之后再次以《数学与猜想》为主题专门讨论了“怎样解题”的问题。
在波利亚看来，有效的“猜想”是寻找题型之间的相似性，波利亚有时称之为“类比”（analogy）。反过来说，“猜想”就是用“类比”的方式寻找题型之间的相似性。“类比”是思考“怎样解题”的关键。
类比或猜想怎么产生？比较简单的办法依然是母题意识或例题意识。要想象眼前的这个考试题或练习题跟以前学到的哪个例题或母题是类似的。波利亚认为，“这是什么类型的问题”将有助于“怎样解决这个问题”，因为“问题的类型能提示解法的类型”。也有研究者认为：“领悟和运用类比是数学创造的主要机制。类比在数学学习中也起着重要的作用，但是目前在学校里很少实际使用。”