通过九宫格问题谈谈数学思维方法

经典的九宫格问题

学习数学，不能只满足于知道答案，重点是如何分析、如何推理，九宫格问题的解题过程具有很强的代表性。九宫格问题看似只能去凑，其实每一步的内在逻辑关系清晰分明，是一个非常好的思维训练例题。

第一步，找到问题的切入点。题目没有说，这个相等的和到底是多少，如果能够知道具体值，显然就前进了一步。不难发现，无论采用何种顺序去填，这9个数总和是不变的，易知1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，所以这个相等的和为45÷3=15。

第二步，观察图形特征，大胆猜想。九宫格本身是一个对称图形，如果说九个格子有一个较为特殊，相信大多数人立即就能指出，是正中央的格子。另外，1至9若排成一行，显然正中央的数是5。因此，我们有理由猜想，5应该居于九宫格正中，不妨先行填入试试。

第三步，分类列举，找出异同。观察剩余的8个格子，不难把它们分为两类，四个角上的格子和四条边中点处的格子。这两类有什么不同呢？显然，角上的格子参与了3次运算，如图中红线所示；边中央的格子参与了2次运算，如图中蓝线所示。2次运算更加容易推算，所以我们不妨从蓝色格子入手。

剩余的两类格子

第四步，分解和式，陆续填入。我们知道，15-5=10，再将10分解成两个整数之和，有1+9、2+8、3+7、4+6共4种分解方法。不妨取第一种分解方法， 1+9，又有两种填入方法，先尝试第一种填法，如下图所示。

错误的尝试

因为9最大，所以考虑15-9=6，6对应的分解方式必然最少，只有1+5，2+4这两种。现在将9填入角上，角上的数会参与3次运算，需要有3种分解方式而不是2种。所以9不能填在角上，只能填在某边的中点，这样就能确定9和1的位置。

正确的位置

按照这个思路，不难陆续填完九宫格，后面的过程就不再详述了，相信读者已经可以独立完成啦。

九宫格问题，看似和数学学习没有多大关系，但是它所体现出的思维方法，却非常值得借鉴。经常进行类似的思考，无疑对学好数学大有裨益。