高中物理：确定磁场最小面积的方法

电磁场内容历来是高考中的重点和难点，而这类问题单纯从物理的角度又比较难求解，下面介绍几种数学方法。

一、几何法

例1. 一质量为m、电荷量为+q的粒子以速度

，从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从b处穿过x轴，速度方向与x轴正方向的夹角为30°，同时进入场强为E、方向沿与x轴负方向成60°角斜向下的匀强电场中，通过了b点正下方的c点，如图1所示，粒子的重力不计，试求：

（1）圆形匀强磁场区域的最小面积；

（2）c点到b点的距离。

图1

解析：（1）先找圆心，过b点逆着速度v的方向作直线bd，交y轴于d，由于粒子在磁场中偏转的半径一定，且圆心位于Ob连线上，距O点距离为圆的半径，据牛顿第二定律有：

①

解得

②

过圆心作bd的垂线，粒子在磁场中运动的轨迹如图2所示：要使磁场的区域有最小面积，则Oa应为磁场区域的直径，由几何关系知：

图2

③

由②③得

所以圆形匀强磁场的最小面积为：

（2）带电粒子进入电场后，由于速度方向与电场力方向垂直，故做类平抛运动，由运动的合成知识有：

④

⑤

而

⑥

联立④⑤⑥解得

二、参数方法

例2. 在xOy平面内有许多电子（质量为m、电荷量为e），从坐标原点O不断地以相同的速率

沿不同方向射入第一象限，如图3所示。现加一个垂直于

平面向里，磁感应强度为B的匀强磁场，要使这些电子穿过磁场区域后都能平行于x轴向x轴正向运动。求符合该条件磁场的最小面积。

图3

解析：由题意可知，电子是以一定速度从原点O沿任意方向射入第一象限时，先考察速度沿+y方向的电子，其运动轨迹是圆心在x轴上的A₁点、半径为

的圆。该电子沿圆弧OCP运动至最高点P时即朝x轴的正向，可见这段圆弧就是符合条件磁场的上边界，见图5。当电子速度方向与x轴正向成角度

时，作出轨迹图4，当电子达到磁场边界时，速度方向必须平行于x轴方向，设边界任一点的坐标为

，由图4可知：

图4

，消去参数

得：

可以看出随着

的变化，S的轨迹是圆心为（0，R），半径为R的圆，即是磁场区域的下边界。

上下边界就构成一个叶片形磁场区域。如图5所示。则符合条件的磁场最小面积为扇形面积减去等腰直角三角形面积的2倍。

图5