《測圓海鏡》勾股形日地北﹝3﹞之恆等式說 / 开普饭

《測圓海鏡》勾股形日地北﹝3﹞之恆等式說

上傳書齋名：瀟湘館112 Xiāo XiāngGuǎn 112

何世強 Ho Sai Keung

提要：《測圓海鏡》乃金‧李冶所撰，其書之“圓城圖式”含十四勾股形，連同原有之大勾股形共十五勾股形。此等勾股形三邊形成一系列之恆等式，本文主要談及第3勾股形日地北相關之等式。

關鍵詞：圓城圖式、諸雜名目、日地北

《測圓海鏡》乃金‧李冶所撰，書成於 1248 年，時為南宋淳祐八年。該書卷一“圓城圖式”之〈識別雜記〉主要討論與十五勾股形相關之等式，本文介紹其部分等式並作出証明。

本文所引用之勾股式源自“圓城圖式”之十五勾股形，a₁、b₁、c₁ 乃最大勾股形“天地乾”之勾、股及弦長。故 a₁、b₁、c₁ 又稱為大勾﹝地乾﹞、大股﹝天乾﹞及大弦﹝天地﹞，見下圖。

《測圓海鏡》之〈右諸雜名目〉篇涉及一系列之勾股恆等式，所有恆等式皆與十五勾股形有關。十五勾股形中最大者為天地乾，其三邊勾股弦分別以a₁、b₁、c₁ 表之，其餘十四勾股形三邊之勾、股、弦則分別以 a_i、b_i、c_i 表之，其中
1 < i ≦ 15。但 a_i、b_i、c_i 均可以以 a₁、b₁、c₁ 表之，此乃《測圓海鏡》之精髓。

有關 a_i、b_i、c_i 相關之式，可參閱筆者另文〈《測圓海鏡》“圓城圖式”之十二勾股弦算法〉。

若十四勾股形三邊長分別表示為：弦 = c_i，勾 = a_i，股 = b_i，〈右諸雜名目〉談及以下之和較：

勾股和 = a_i+ b_i

勾股較 = b_i– a_i

勾弦和 = a_i+ c_i

勾弦較 = c_i– a_i

股弦和 = b_i+ c_i

股弦較 = c_i– b_i

弦較和 = c_i+ (b_i – a_i)﹝較指勾股較，和指弦與勾股較之和﹞

弦較較 = c_i– (b_i – a_i)﹝第一較字指勾股較，第二較字指弦與勾股較之較﹞

弦和和 = (a_i+ b_i) + c_i﹝第一和字指勾股和，第二和字指弦與勾股和之和﹞

弦和較 =(a_i + b_i) – c_i﹝第一和字指勾股和，第二較字指弦與勾股和之較﹞

以下左為“圓城圖式”右為“圓城圖式十五句股形圖”：

“底弦”指“日地北”勾股形之弦﹝見上左圖﹞“日地”，其直角為 (3) ﹝見上右圖﹞，注意第 3 點即“北”點。

以下為“日地北”勾股形之三事﹝三事，三邊之長也﹞：

北地底勾﹝簡稱底勾﹞：a₃ = a₁ –

(a₁ + b₁ – c₁) =

(a₁ – b₁ + c₁) 。

日北底股﹝簡稱底股﹞：b₃ =

(a₁ – b₁ + c₁) 。

日地底弦﹝簡稱底弦﹞：c₃ =

( a₁ –b₁ + c₁) 。

以下為與底弦﹝勾股形日地北﹞有關之式：

底弦上勾股和為通勾髙弦共。

已知通勾 = a₁，髙弦 = c₆=

( a₁ + b₁ – c₁) 。“共”即和。

底弦上勾股和=a₃ + b₃ =

(a₁ – b₁ + c₁) +

(a₁ – b₁ + c₁)

(a₁ – b₁ + c₁)(1 +

)

(a₁ – b₁ + c₁)(a₁ + b₁)

(a₁² – b₁²+ c₁a₁ + c₁b₁) 。

通勾髙弦共 = a₁ + c₆ = a₁+

(a₁ + b₁ – c₁)

(2a₁² + c₁a₁ + c₁b₁ – c₁²)

(2a₁² + c₁a₁ + c₁b₁ – a₁² –b₁²)

(a₁² + c₁a₁ + c₁b₁ – b₁²) 。

所以底弦上勾股和 = 通勾髙弦共。

其較則髙弦內去小差勾也。

已知小差勾﹝見勾股形 11﹞ = a₁₁= c₁ – b₁。

“其較”指“底弦上勾股較”，而“底弦上勾股較”

=b₃ – a₃ =

(a₁ – b₁ + c₁) –

(a₁ – b₁ + c₁)

(a₁ – b₁ + c₁)(

– 1)

(a₁ – b₁ + c₁)( b₁ – a₁)

[c₁– (b₁ – a₁)](b₁ – a₁)

(c₁b₁ –c₁a₁ – b₁² – a₁² + 2b₁a₁)

(c₁b₁ – c₁a₁ – c₁² + 2b₁a₁)。

髙弦見勾股形 6。

髙弦內去小差勾=c₆ – a₁₁ =

(a₁ + b₁ – c₁) – (c₁ – b₁)

(c₁a₁ + c₁b₁ – c₁² – 2a₁c₁ + 2a₁b₁)

(c₁b₁ – c₁a₁ – c₁² + 2b₁a₁)。

上式與前式等，所以底弦上勾股較 = 髙弦內去小差勾。

勾弦和為通弦上弦較較與髙股共。

底弦上勾弦和 = a₃ + c₃ =

(a₁ – b₁ + c₁) +

(a₁ – b₁ + c₁)

(a₁ – b₁ + c₁)(1 +

)

(a₁ – b₁ + c₁)(a₁ + c₁)

(a₁² + c₁²+ 2a₁c₁ – b₁a₁ – b₁c₁) 。

已知通弦 = c₁，通弦上弦較較 = c₁ –(b₁ – a₁) = c₁ – b₁+ a₁，

髙股 ﹝見勾股形 6﹞= b₆=

( a₁ + b₁ – c₁) 。

通弦上弦較較+髙股

(a₁ + b₁ – c₁) + (c₁ – b₁ + a₁)

(b₁a₁ + b₁² –b₁c₁ + 2a₁c₁ – 2a₁b₁ +2a₁²)

(b₁² – b₁c₁ + 2a₁c₁ – a₁b₁ + 2a₁²)

(a₁² + c₁²+ 2a₁c₁ – b₁a₁ – b₁c₁) 。

所以底弦上勾弦和 = 通弦上弦較較與髙股共。

其較則髙股也。

“其較”指“底弦上勾弦較”。

底弦上勾弦較 = c₃ – a₃=

(a₁ – b₁ + c₁) –

(a₁ – b₁ + c₁)

(a₁ – b₁ + c₁)(

– 1)

(a₁ – b₁ + c₁)(c₁ – a₁)

(c₁ + a₁ – b₁)(c₁ – a₁)

(c₁² – a₁² – b₁c₁ + b₁a₁)

(b₁² – b₁c₁ + b₁a₁)

( a₁ +b₁ – c₁) 。

天旦股﹝又稱上髙股，簡稱髙股﹞= b₆ =

( a₁ +b₁ – c₁) 。

前式為髙股﹝見勾股形 6﹞ b₆ ，所以底弦上勾弦較 = 髙股。

股弦和為半个[1]通弦上三事和。

“三事和”指勾股弦三邊之和。

底弦上股弦和= b₃ + c₃ =

(a₁ – b₁ + c₁) +

( a₁ – b₁ + c₁)

(a₁ – b₁ + c₁)(b₁ + c₁)

(c₁² – b₁²+ a₁b₁ + a₁c₁)

(a₁² + a₁b₁ + a₁c₁)

(a₁ + b₁ + c₁)。

通弦上三事和 = a₁ + b₁ + c₁。

(a₁ + b₁ + c₁) 為“半个通弦上三事和”，所以底弦上股弦和 = 半个通弦上三事和。

其較則

弦上勾弦和也。

“較”指底弦上股弦較。

底弦上股弦較 =

( a₁ –b₁ + c₁) –

(a₁ – b₁ + c₁)

(a₁ – b₁ + c₁)(c₁ – b₁) 。

弦﹝見勾股形 15﹞上勾弦和，已知：

勾 = a₁₅=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

弦 = c₁₅=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

弦上勾弦和 =

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) +

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(1 +

)

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(a₁ + c₁)

(b₁a₁ + b₁c₁ – c₁² + a₁²)(c₁ – b₁)

(b₁a₁ + b₁c₁ – b₁²)(c₁ – b₁)

(a₁ – b₁ + c₁)(c₁ – b₁) 。

上式與前式等，所以底弦上股弦較 =

弦上勾弦和。

弦較和為大差上勾弦和也。

底弦上“弦較和”指 c₃ + (b₃ – a₃)，

c₃ + (b₃ – a₃) =

(a₁ – b₁ + c₁) +

(a₁ – b₁ + c₁) –

(a₁ – b₁ + c₁)

(a₁ – b₁ + c₁)(c₁ + b₁ – a₁)

[c₁ – (b₁ – a)](c₁ + b₁ – a₁)

[c₁² – (b₁ – a)²]

[c₁² – b₁² –a² + 2a₁b₁]

× 2a₁b₁

= b₁﹝此為大股﹞。

因為大差勾 = a₁₀ =

(c₁ – a₁) ，大差弦 = c₁₀ =

(c₁ – a₁) 。

大差上勾弦和 = a₁₀ + c₁₀ =

(c₁ – a₁) +

(c₁ – a₁)

= (c₁ – a₁)[

]

(c₁ – a₁)(c₁ + a₁)

(c₁² –a₁²)

= b₁﹝亦為大股﹞。

所以底弦上弦較和 = 大差上勾弦和=大股。

其較則小差上勾弦和也。

“其較”指底弦上“弦較較”，底弦上“弦較較”指

c₃ – (b₃ – a₃) = c₃– b₃ + a₃

(a₁ – b₁ + c₁) –

(a₁ – b₁ + c₁) +

(a₁ – b₁ + c₁)

(a₁ – b₁ + c₁)(c₁ – b₁ + a₁)

(c₁ – b₁ + a₁)²

[c₁² + b₁²+ a² – 2c₁b₁ + 2c₁a₁ – 2a₁b₁]

[2c₁² – 2c₁b₁ + 2c₁a₁ –2a₁b₁]

[c₁² – c₁b₁ + c₁a₁ – a₁b₁]

(c₁ – b₁)(c₁ + a₁)。

又小差勾 ﹝見勾股形11﹞= a₁₁ = a₁ – (a₁ + b₁ – c₁)

=a₁ – a₁ – b₁ + c₁ = c₁ – b₁。

小差弦 = c₁₁ =

(c₁ – b₁) 。

小差上勾弦和 = a₁₁ +c₁₁ = (c₁ – b₁) +

(c₁ – b₁)

= (c₁ – b₁)(1 +

)

(c₁ – b₁)(c₁ + a₁) 。

上式與前式等，底弦上弦較較 = 小差上勾弦和。

三事和即通弦上勾弦和。

底弦上三事和指 c₃ + b₃ + a₃，

c₃ + b₃ + a₃ =

(a₁ – b₁ + c₁) +

(a₁ – b₁ + c₁)

(a₁ – b₁ + c₁)(c₁ + b₁ + a₁)

(c₁ + a₁ – b₁)(c₁ + a₁ + b₁)

[(c₁ + a₁)² – b₁²]

[c₁² + a₁² + 2a₁c₁ – b₁²]

[2a₁² + 2a₁c₁]

= a₁ + c₁

= 通弦上勾弦和。

所以底弦上三事和 = 通弦上勾弦和。

又為黃長三事和上帶股圓差。

黃長﹝見勾股形 5﹞。

已知黃長股：b₅ =

(a₁ + b₁ – c₁) × 2 = a₁ + b₁ – c₁，

黃長勾：a₅ =

(a₁ + b₁ – c₁)，

黃長弦：c₅ =

(a₁ + b₁ – c₁)。

黃長三事和=(a₁ + b₁ – c₁) +

(a₁ + b₁ – c₁) +

(a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)[1+

]

(a₁ + b₁ – c₁)(a₁ + b₁ + c₁)

[(a₁ + b₁)² – c₁²]

(a₁² + b₁²+ 2a₁b₁ – c₁²)

× 2a₁b₁

= 2a₁。

已知“股”指大股 b₁，圓指圓直徑 a₁ + b₁ – c₁。

所以股圓差 =b₁ – (a₁ + b₁ – c₁) = c₁ – a₁，

黃長三事和上帶股圓差= 2a₁ + c₁ – a₁ = a₁ + c₁ 。

以上亦為通弦上勾弦和。所以底弦上三事和 = 黃長三事和上帶股圓差。

其較則小差股也。

底弦上三事較即弦和較，指 b₃ + a₃– c₃。

– c₃ + b₃+ a₃ = –

(a₁ – b₁ + c₁) +

(a₁ – b₁ + c₁)

(a₁ – b₁ + c₁)( – c₁ + b₁ + a₁)

(a₁ + c₁ – b₁)[a₁ – (c₁ – b₁)]

[a₁² – (c₁ – b₁)²]

[a₁² – c₁²+2b₁c₁ – b₁²]

[ –2b₁²+ 2b₁c₁]

(c₁ – b₁) 。

已知小差股﹝見勾股形 11﹞ = b₁₁ =

(c₁ – b₁) 。

上式與前式等，所以底弦上三事較 = 小差股。

又為髙弦上弦較較。

已知髙勾﹝見勾股形 6﹞：a₆ =

(a₁ + b₁ – c₁) ，

髙股：b₆ =

( a₁ +b₁ – c₁) ，

髙弦：c₆ =

( a₁ +b₁ – c₁) 。

髙弦上弦較較：c₆ – (b₆ – a₆)= c₆ – b₆ + a₆

(a₁ + b₁ – c₁) –

( a₁ + b₁ – c₁) +

(a₁ + b₁ – c₁)

(a₁ + b₁ – c₁)(c₁ – b₁ + a₁)

[a₁ –(c₁ – b₁)](a₁ + c₁ – b₁)

[a₁² – (c₁ – b₁)²]

[a₁² – c₁² – b₁²+ 2c₁b₁]

(– 2b₁² + 2c₁b₁)

(c₁ – b₁) 。

所以底弦上三事較 = 髙弦上弦較較。

又為太虛弦上勾弦和。

已知太虛勾﹝見勾股形 13﹞= a₁₃=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)，

太虛弦= c₁₃ =

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

太虛弦上勾弦和 = a₁₃ +c₁₃ =

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) +

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) (1 +

)

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(c₁ + a₁)

(c₁ – b₁)(c₁² – a₁²)

(c₁ – b₁)b₁²

(c₁ – b₁) 。

所以底弦上三事較 = 太虛弦上勾弦和。

以下為《測圓海鏡細草》之原文：

[1] 用此“个”字。

《測圓海鏡》勾股形日地北﹝3﹞之恆等式說

相关推荐