美国理论物理学家理查德·费曼是世界上最著名的科学家之一。费曼对理论物理学做出了巨大的贡献。包括量子力学路径积分、量子电动力学理论的发展（包括他著名的费曼图）、冷液氦超流态、量子计算和纳米技术等方面。1965年，他是诺贝尔物理学奖的获得者之一。

图1：美国理论物理学家、诺贝尔奖得主理查德·费曼。

美籍加拿大理论物理学家劳伦斯·克劳斯在他关于费曼的传记中引用了他的话:

用新的观点认识旧事物是一种乐趣。——理查德·费曼

在这篇文章中，我将介绍费曼基于路径积分的量子理论的新方法。

量子力学的旧方法

复制原子光谱量化的第一个成功尝试被称为矩阵力学。它是由德国理论物理学家维尔纳·海森堡在1925年发明的。同年，爱尔兰裔奥地利物理学家埃尔温·薛定谔创立了波动力学。一年之后，薛定谔自己证明了这两种方法的等价性。然而，量子力学的现代观点，即状态是希尔伯特空间中的数学实体，主要归功于英国理论物理学家保罗·狄拉克。在量子场论发展的推动下，量子力学的其他公式也得到了发展。

图2，海森堡，薛定谔，狄拉克

其中一种方法是路径积分法，它是经典力学作用原理的推广。在这种形式中，两种状态之间的量子跃迁是通过对所有可能的经典轨迹“求和”（更精确地计算一个泛函积分）得到的。因此，这个公式取代了经典的概念，即单个时空轨迹与系统的运动有关。虽然路径积分公式的发展涉及到其他科学家（如诺伯特·维纳和保罗·狄拉克），但完整的方法是由费曼在1948年提供的。

图3：费曼介绍新方法的文章。

费曼在《非相对论量子力学的时空方法》这篇文章的摘要中介绍了他的新方法：

量子力学在这里用另一种不同的方式表述。然而，它在数学上与我们熟悉的公式是等价的。在量子力学中，某一事件可能以几种不同的方式发生的概率，是复数贡献之和的绝对平方和，每种贡献都有一个。一个粒子在某个时空区域内存在路径x(t)的概率是该区域内每个路径贡献之和的平方。单个路径的贡献被假定为指数，其相位是所讨论路径的经典作用（以h/2π为单位）。ψ(x, t)波函数满足薛定谔方程。

首先，我将介绍量子传播子的概念。

量子传播

量子力学和量子场理论中的传播者是决定粒子在给定时间间隔内从一个位置移动到另一个位置的概率振幅的函数。跃迁振幅的模量的平方就是跃迁概率。

设时变的X(t)为海森堡图中的位置算子。考虑以下初始和最终向量状态：

方程1：态间的过渡。

是算子X(t)的特征态：

方程1中跃迁对应的传播子由下式给出：

方程2：与式1中的跃迁对应的传播子。

这个函数是一个跃迁振幅。

位置集的完备性

当然，当我们测量系统的位置（在某个固定的时间）时，我们得到任何结果的概率必须等于1。其结果是形成了一个完整的集合：

方程3

注意，右边的单位是恒等运算符。这个关系可以用来把传播子写成一连串的积分。换句话说，我们可以将转换写成中间转换的组合。最简单的例子是：

方程4：利用方程3将左边的传播算子重新表示为对x "的积分。积分表示了对所有可能的中间位置x "的两个连续转换。

利用传播子的这一组成性质，我们可以划分对应于两个状态之间跃迁的时间间隔

方程5：初态和终态之间的转变。

与长度等分

方程6：完全跃迁所对应的时间间隔可以与δt的长度等分。

然后将跃迁振幅写成振幅的组合：

方程7：过渡振幅是振幅的组成。

我们对所有可能的路径求和，重点固定。图4说明了这一点。

图4：经典轨迹、离散量子轨迹和连续量子轨迹。

图4最左边的图是经典力学的独特路径。为了得到这条路径，考虑一个具有拉格朗日函数L(x, dx/dt)的粒子。描述路径的拉格朗日运动方程是通过使运动极值得到的：

方程8：经典路径是通过极值这个作用得到的。

这就是汉密尔顿原理。

费曼的时空的方法

正如我们刚才看到的，在经典物理中，粒子运动有一个确定的路径，而在量子力学中，所有可能的路径都必须考虑进去。问题是，在h→0的极限下我们如何证明量子力学再现经典力学？

在1933年的一篇论文中，保罗·狄拉克说了一句让费曼迷惑不解的话。调整符号，结论是：

式9：狄拉克的神秘言论

费曼对狄拉克这句话的意思感到困惑。他说的“对应”是什么意思？这个问题促使费曼提出了量子力学强有力的时空方法。

图5：狄拉克在他1933年的论文“量子力学中的拉格朗日”中神秘的评论。

对应于路径一小段的运动如下：

方程10：对应于一小段路径的动作。

对于给定的路径，我们用这些表达式相乘得到相应的振幅。方程5中过渡的传播器是通过对所有路径求和得到的：

方程11：公式5中跃迁的传播子是由所有可能路径的总和得到的。

图6：根据方程11对传播器做出贡献的一些路径。

对于非常小的h，这个和的唯一相关项对应于一条路径，如果我们稍微变形它就不会变化（因为h很小，由于指数的强振荡，其他路径的贡献被抵消了）。这意味着该路径满足方程8：

方程12：振幅只取决于经典路径。

因此，根据哈密顿原理，振幅只取决于经典路径。因此，经典力学在小h中得以恢复，这是应该的。

费曼将狄拉克公式11改写成比例关系：

方程13：费曼把狄拉克的假设写成比例关系。

在费曼传记中，詹姆斯·格莱克描述了两位伟人之间的对话：

费曼向窗外望去，看见了狄拉克……他有一个问题从战前就一直想问狄拉克。他走出去坐了下来。狄拉克在1933年的一篇论文中的评论给费曼提供了一条重要的线索，帮助他发现了经典力学中量子力学的作用。狄拉克写过，但他和其他任何人都没有追踪这条线索，直到费曼发现“对应”实际上是完全成比例的。现在，他问狄拉克，这位伟人是否一直知道这两个量是成比例的。“是吗?“狄拉克说。费曼说是的。沉默了一会儿，狄拉克走了。