八上20讲 期末复习2 再谈全等中的“一线三等(直)角”与“手拉手”

写在前面

学期即将结束，笔者在给学生复习几何时发现，有些题在有了等腰三角形的背景下，常需作辅助线，构造“一线三等角”模型．

而在八上第六讲中，笔者也介绍过手拉手模型，当题目中出现“等线段，共顶点”时，很多时候就能借助模型找到或者构造“旋转型全等”．

本讲就以这两个模型为切入口，帮助大家复习几何内容．

一、何为一线三等(直)角模型

我们先来研究最特殊的一线三直角．

如图，当∠CAB＝∠CBE＝∠BDE＝90°，CB＝BE时，△CAB≌△BDE．证明略．

一般的，当∠CAB＝∠CBE＝∠BDE，(钝角或锐角)，CB＝BE时，同样有△CAB≌△BDE．

可能有些同学对证明过程有疑虑，

其实不难，利用外角．

∠C＋∠CAB＝∠CBD＝∠CBE＋∠EBD

∵∠CAB＝∠CBE，∴∠C＝∠EBD，下略．

当然，这里还有引申结论，如CA＋DE＝AD等．

即便CB与BE不等，这两个三角形也是初三学习相似时的重要模型．

本讲，我们主要研究最特殊的一线三直角．

二、一线三直角典型例题

例1：

分析：

这里的背景是正方形，则其邻边相等，加上∠COA＝90°，则可以构造一线三直角模型．

解答：

变式：

已知点P的坐标为(3，4)，O为原点，连结OP，将线段OP绕点P按顺时针方向旋转90°得线段PQ，则点Q的坐标为________

分析：

本题无图，需自己画图，结合题目来看，旋转90°，与例1类似，构造一线三直角．

解答：

如图，

过点P作PA∥y轴，交x轴于点A，

过点Q作QB⊥y轴，交AP延长线于点B．

易证△OPA≌△PQB，

PB＝OA＝3，

QB＝AP＝4

P(3，4)向上3个单位，

再向左4个单位到点Q，

Q(－1，7)．

例2：

解析：

变式：

分析：

易知A(3，0)，B(0，2)．显然，这里有2种情况，分别是以点B为直角顶点，或以点A为直角顶点．

若以点A为直角顶点，则过点C作x轴垂线；若以点B为直角顶点，则过点C作y轴垂线．

解答：

思考：

将此题再变，若BA为底边，C为直角顶点，求过B、C两点直线的解析式．

本题答案，可在后台回复“20讲”获得．

三、再探手拉手模型

例3：

如图，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE，则∠AEB的度数是_________

分析：

由《八上第六讲 初识手拉手模型》可知，本题属于如下模型．

不难得出∠ACD＝∠BCE，则有手拉手旋转型全等，△ACD≌△BCE，或用八字形直接得∠AEB度数，或得到∠ADC＝∠BEC，再用∠BEC－∠AEC的度数．

解答：

易证△ACD≌△BCE（SAS），

∴∠CAD＝∠CBE

∴∠AEB＝∠ACB

或

∴∠ADC＝∠BEC，
∵∠ADC＋∠CDE＝180°，

∠CDE＝60°，
∴∠ADC＝120°，
∴∠BEC＝120°，
∴∠AEB＝∠BEC－∠CED

＝120°－60°＝60°．

变式：

AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝90°，且∠EBD＝42°，则∠AEB＝________.

解析：

本题属于如下模型．

易证△BDC≌△AEC(SAS)，

∴∠DBC＝∠EAC，

∴∠EAC＋∠EBC＝42°，

∴∠AEB＝∠BCA＋∠EAC＋∠EBC＝132°.

(规形图结论)

例4：

如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE' 的位置，若AE＝1，BE＝2，CE＝3，则∠AEB＝_______度.

分析：

要求∠AEB的度数，即求∠CE’B的度数，由于旋转，可得BE＝BE’，不妨连接EE’．

解答：

变式：

如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若四边形ABCD的面积是18，则AC长是_______．

分析：

这题有等线段AB，AD，共顶点A，想到构造旋转的手拉手．可由AD旋转到AB，想到将AC顺时针旋转．也可由AB旋转到AD，想到将AC逆时针旋转．但有一点还是要注意，虽然用旋转省去证明全等的过程，但需证明三点共线．

解答：

小结：

应该说，目前的一线三直角和手拉手模型还算比较简单，但在今后的学习中，由一线三直角转化到一线三等角，手拉手旋转全等转化为旋转相似，证明题，最值题，各种类型的难题还有很多，我们需要慢慢消化．

本讲思考题2例：

应一些读者的强烈期盼，复习阶段还是给出2个思考题。

1、(一线三直角模型，本题曾有读者在后台问过，好题一枚)

2、(手拉手模型，涉及费马点，有兴趣的同学可自行百度)