二次根式

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二次根式是初中数学里综合计算的集中体现。

有人总是说老贼啊，你怎么老是说计算啊计算啊，能不能讲点数学思想啥的。首先数学思想没有计算能力是实现不了的，其次，计算都过不了关，难道能深刻领会数学思想？

很多时候对于中等难度的题目学生是能把式子列出来的，但是到了最后就是算不出来或者算错。我们经常听到家长的灵魂三问：

我家孩子挺聪明的，就是粗心；

我家孩子都会，就是动作慢，来不及；

我家孩子听都听明白了，但是一到做题目就不行。

其实这都是有问题的，根源基本都是在计算能力上，所以你们发现我到现在为止讲得初中内容都是和计算有关的。中学代数内容的灵魂在函数，我还只字未讲，因为还不到时候。

当然二次根式除了计算以外，还有一个需要注意的地方就是根号里的内容必须是非负的。因此在化简的时候如果是带参数的，那么一定要当心是否有可能会导致一个负数进行根号运算的情况。

根号运算的难点在于有理化，包括分母和分子的有理化，以及根号里带根号的化简。

首先我们来介绍一下关于二次根式的基本性质：

从基本定义上我们马上可以看出二次根式和绝对值之间的联系了吧？类似于绝对值，二次根式最后结果必然是非负的，这个可以作为以后检查的一个重要依据，如果根号的运算结果是小于0了，那么必然计算出了问题。

那么二次根式的加减乘除和有理数的加减乘除有什么不同呢？

毫无疑问的是，根式的运算一定是脱胎于有理数的运算的，但一定和有理数运算有所区别。

我们先来看一些基本的性质：

我们发现，这几条性质的理解是很容易的。其中性质2,3,4就是根号运算和乘法、除法、以及指数运算的交换律是成立的。

性质1很有意思，从代数的角度来看，如果我们把根号m看成是普通代数式的某个字母，性质1直接就变成了合并同类项了。

根式运算的结合律、分配律、交换律可以仿照实数运算的三律自动成立。以上这些我们都可以根据多项式运算和实数的性质直接推出来，并且很容易理解。接下来我们看一些根式的独特的性质。比如，我们如何判定两个根式是相等的？

设a，b，c，d，m是有理数，且m不是完全平方数，则当且仅当a=c,b=d时，我们有

轭的本意是指驾车时套在牲口脖子上的曲木，一般是成对出现，所以发明共轭这个词的人是真有文化啊。。。

共轭根式的特点就是它们的乘积就变成有理式了，这个技巧在后面的讲解中要反复出现——虽然就是一句话的事情，但是真的很管用。

讲到这里全是基本概念，那么你理解了么？我们来看这样一个问题。

假设一个集合中的元素通过加减乘除运算仍然在这个集合中，我们称这个集合是封闭的。那么所有形如

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