《必修一》中的数学思想
目录
第一讲 函数与方程思想（一）..................................................................................................................... - 1 -
题型一：函数观点看不等式...................................................................................................................... - 2 -
题型二：识别变量和参数.......................................................................................................................... - 3 -
题型三：多变量求最值.............................................................................................................................. - 4 -
题型四：函数性质比大小.......................................................................................................................... - 5 -
第二讲 函数与方程思想（二）..................................................................................................................... - 8 -
题型一：复合函数进阶.............................................................................................................................. - 8 -
题型二：根据对称求解析式...................................................................................................................... - 9 -
题型三：构造新函数或方程...................................................................................................................... - 9 -
第三讲 抽象函数问题..................................................................................................................................... - 12 -
题型一：抽象函数判断单调性............................................................................................................... - 12 -
题型二：抽象函数判断奇偶性............................................................................................................... - 13 -
题型三：抽象函数解不等式................................................................................................................... - 13 -
第四讲 图像——数形结合与极限思想........................................................................................................ - 15 -
题型一：奇函数对称拓展....................................................................................................................... - 15 -
题型二：零点（根）的分布问题........................................................................................................... - 15 -
题型三：零点个数问题........................................................................................................................... - 16 -
题型四：极限思想找图像....................................................................................................................... - 18 -
第五节——整体换元思想................................................................................................................................ - 20 -
第六节——分类讨论思想情形归纳................................................................................................................ - 23 -
题型一：集合型....................................................................................................................................... - 23 -
题型二：二次函数型............................................................................................................................... - 24 -
题型三：指对函数型............................................................................................................................... - 27 -
第七节——多变量求参数................................................................................................................................ - 28 -
题型一：单变量双函数........................................................................................................................... - 28 -
题型二：双变量双函数........................................................................................................................... - 28 -
第八节——分式应用........................................................................................................................................ - 31 -
题型一：分式求最值............................................................................................................................... - 31 -
题型二：怎么处理分式........................................................................................................................... - 32 -
第九节——绝对值............................................................................................................................................ - 34 -
题型一：翻折——去左变偶................................................................................................................... - 34 -
题型二：翻折——下翻上....................................................................................................................... - 35 -
题型三：分类讨论................................................................................................................................... - 36 -
第十讲 计算能力培养..................................................................................................................................... - 38 -
题型一：指对计算................................................................................................................................... - 38 -
题型二：因式分解................................................................................................................................... - 38 -
题型三：比较大小................................................................................................................................... - 39 -
题型四：计算........................................................................................................................................... - 39 -
题型五：解方程组................................................................................................................................... - 40 -
题型六：三角函数................................................................................................................................... - 40 -
第一讲 函数与方程思想（一）
题型一：函数观点看不等式
例1.关于
的不等式
的解集是
，则关于
的不等式
的解集是( )
A.
B.
C.
D.
练1-1. （2018-2019合肥一中六中期中6）若关于
的不等式
的解集为
，其中
为常数，则不等式
的解集是( )
A.
B.
C.
D.
练1-2. 解下列不等式
；
.
题型二：识别变量和参数
例2.已知二次函数
，若
，
，则实数
的取值范围.
练2-1. （2018-2019合肥168期中15）若当
时，不等式
恒成立，则实数
的取值范围是_____________。
练2-2.（2018-2019合肥一六八期中6）已知集合
，对满足集合
的所有实数
，使不等式
成立的
的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D.
题型三：多变量求最值
例3.（2020合肥8中期中8）已知
，且
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
练3-1. 已知
，求
最大值和最小值.
练3-2.
，
，求
的最小值
练3-3. 函数
，若互不相等的实数
满足
，则
的取值范围是____________。
题型四：函数性质比大小
例4. 已知定义域为
的函数
在
上单调递减，函数
是偶函数，若
，
，
，
为自然对数的底数，则
的大小关系是___________.
练4. 已知函数
关于
对称，且当
时，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
家庭作业
1.已知，
，
，
，
①
为真命题，
的取值范围；
②
和
至少有一个真命题，
和
至少有一个假命题，则
的取值范围。
2.
，求
的最小值
3.已知函数
，若
，且
，则
的取值范围是____________.
第二讲 函数与方程思想（二）
题型一：复合函数进阶
例1-1. （2017-2018年合肥一中期末第19题 第2问）
函数
．若函数
的最小值为
，求
的值．
练1-1. 若函数
的值域是
，那么它的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
例1-2．已知函数
，则函数
的零点个数可能为___________个.
练1-2．已知函数
，
，则方程
为正实数）的根的个数可能为____________个.
题型二：根据对称求解析式
例2. 设函数
的图像关于直线
对称，若当
时，
,则当
时，
练2. 已知
为
上偶函数，当
时，
，则当
时，求函数
的解析式.
题型三：构造新函数或方程
例3-1. 定义在
上的函数
满足
，若
，则不等式
的解集为___________.
练3-1.已知函数
，在
上满足
，求参数
的取值范围.
例3-2. 函数
满足：①在定义域
内为单调函数，②存在
使得
在
上的值域为
，求
的取值范围.
练3-2. 已知函数
，若函数
的定义域、值域都为
，且
在
上单调，求实数
的取值范围。
家庭作业
1.已知函数
在
上单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2.已知函数
，存在区间
，使
在区间
上的值域为
，则实数
的取值范围为_____________。
3.已知函数
，
，若函数
恰有两个不同的零点，则实数
的取值范围为__________.
第三讲 抽象函数问题
题型一：抽象函数判断单调性
例1-1.
，有
，当
时，
，判断
的单调性.
练1-1.
，有
，当
时，
，判断
的单调性.
例1-2.
，有
，当
时，
，判断
在
的单调性.
练1-2.
，满足
，当
时，
，判断
的单调性
题型二：抽象函数判断奇偶性
例2.
定义域为
，
有
，证
为奇函数.
练2.
为定义域在
上不恒为0的函数，且
，都有
，判断
的奇偶性.
题型三：抽象函数解不等式
例3-1. 定义在非零实数集上的函数
对任意非零实数
，
满足：
，且当
时，
，解不等式：
．
练3-1. 定义域在
上单调函数
满足
，且
，则
，都有
，求实数
的取值范围.
例3-2. 已知函数
的定义域为
,对定义域内任意的
都有
，当
时，
且
,解不等式：
练3-2. （2020合肥八中期中22题）
已知定义在
上的函数
，满足
，且当
时，有
，若
，解不等式
.
例3-3. 已知函数
是定义在
上的偶函数，且在
，
上单调递减，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
练3-3. 已知函数
是定义在
上的偶函数，且在
上单调递减，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
，
B．
C．
，
D．
第四讲 图像——数形结合与极限思想
题型一：奇函数对称拓展
例1.已知函数
，函数
的最大值、最小值分别为
，
，则
__________.
练1-1. 已知函数
，
，函数
的最大值、最小值分别为
，
，则
_________.
练1-2. （2020合肥五中期中15题）已知函数
为定义在
上的函数，且满足
，若
，求
在
上的最大值与最小值之和___________．
题型二：零点（根）的分布问题
例2. 若函数
的一个零点在区间
上，另一个零点在区间
上，则实数
的取值范围为________.
练2-1. 已知关于
的二次方程
，若方程有两根，其中一根在区间
内，另一根在区间
内，
的范围是_________.
练2-2. 已知函数
，
，
（1）若
在区间
有零点，求
的取值范围；
（2）若关于
的方程
有两个大于1的不同的实根，求
取值范围.
题型三：零点个数问题
例3-1. 函数
的零点个数为___________.
练3-1.函数
的零点个数为___________.
例3-2. 已知函数
，若关于
的函数
有两个不同的零点，则实数
的取值范围是______________.
练3-2. 已知函数
，若方程
恰有两个不同的根，则实数
的取值范围是________.
例3-3. （2020合肥五中期中17题）
已知
是定义域为
的奇函数，当
，
时，
．
（1）写出函数
的解析式；
（2）若方程
恰有3个不同的解，求
的取值范围．
练3-3. （2019合肥168期末20）
已知函数
，在一个周期内的图象如下图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）设
，且方程
有两个不同的实数根，求实数
的取值范围和这两个根的和.
题型四：极限思想找图像
例4-1. 函数
的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
练4-1. 函数
的部分图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
练4-2. 函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
练4-2. 函数
的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
第五节——整体换元思想
例1. （2017-2018合肥六中段一第5题）
已知函数
，则
______________.
练1. （2017-2018合肥七中段一第15题）
若函数
满足
，则
的最小值为_______________
例2. 已知
，
，则函数
的最大值为_____________.
练2. 已知函数
，
，设
，若
的图象恒在
轴上方，求
的范围．
例3. （2018-2019合肥九中段二第12题）
若
，则函数
的( )
A．最小值为0，无最大值 B．最小为0，最大值为6
C．最小值为
，无最大值 D．最小值为
，最大值为6
练3. （2019-2020合肥168诺贝尔班期末10题）
已知函数
，
的值域为
，则实数
的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
例4. （2019-2020合肥6中期末15）
若
，
，
，
，则
___________.
练4. 已知
，
，且
，求
的值．
例5.设函数
．
（1）若
是偶函数，求
的值；
（2）若存在
，
，使得
成立，求实数
的取值范围；
练5. （2019-2020合肥168诺贝尔班20题）
设函数
是定义域为
的奇函数.
（1）求
的值；
（2）若
，求使不等式
恒成立的
的取值范围；
（3）若
，
且
在
上的最小值为
，求
的值.
第六节——分类讨论思想情形归纳
分类讨论是因为参数的不确定性，我们需要把参数所有的可能性全部列举出来，并对每个可能性进行分析，其实就是把题目化整为零，各个击破，最后再整和结论。
情形1：不确定集合
是否是空集要对集合
分空集和非空集两种情况讨论；
情形2：一次函数
的斜率正负不确定要分类讨论；
情形3：分段函数求值不确定
在哪一段要分类讨论；
情形4：等式（方程，不等式）两边同时除以一个数
时，不确定
的大小，要分
讨论；
情形5：不确定
是不是一元二次方程，不等式，函数 要分
讨论，函数还要分
；
情形6：二次函数
的对称轴
与区间
的位置关系不确定，一般要 分
三种情况讨论；
情形7：
的根或零点与区间位置关系不确定时需要分类
情形8：指数函数（
）和对数函数（
）的底数
大小不确定要分
讨论；
情形9：去绝对值符号时不确定绝对值里面的数的正负性需要分来讨论；
情形10：复合函数由于有参数导致单调性不能确定需要分类讨论；
情形11：函数
在区间上单调时一般要分单增还是单减。
…………………………
题型一：集合型
例1. （2020-2021合肥五中期中17题）设集合
，
．
（1）若
，求实数
的取值范围；
（2）若
，求实数
的取值范围．
练1. （2020-2021合肥七中期中18题）已知集合
，
（1）若
,求
的取值范围；
（2）若
是
成立的充分不必要条件，求
的取值范围．
题型二：二次函数型
例2-1. 解关于
的不等式：
练2-1. 解关于
的不等式：
例2-2. （2017-2018合肥十中段一第20题）
已知函数
（
是常数）在区间
上的最大值是
（1）求
的表达式；
（2）求关于
的函数
的最值．
练2-2. （2018-2019年合肥一、七中段一第19题）
已知函数
在区间
，
上有最小值，记作
（1）求
的表达式
（2）作出
的图象并根据图象求出
的最大值．
例2-3. （2017-2018合肥六中段一第9题）
如果函数
在区间
上是单调递增的，则实数
的取值范围是（ ）A．
B．
C．
D．
练2-3. （2018-2019年合肥九中段一第14题）
函数
在区间
上递减，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型三：指对函数型
例3-1. 已知
且
，讨论
的单调性.
练3-1. （2019-2020合肥168诺贝尔班期末8）
已知函数
在
上是增函数，则实数
的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
例3-2. 设
，函数
在
的最大值是14，求
的值
练3-2. 已知函数
（1）求解关于
的不等式
；
（2）若
恒成立，求实数
的取值范围.
第七节——多变量求参数
题型一：单变量双函数
例1.设函数
（1）若对任意的
，使得
成立，求实数
的取值范围.
（2）若存在
，使得
成立，求实数
的取值范围.
练1. 已知
，
，若
时，恒有
成立，求
的最大值.
题型二：双变量双函数
例2-1. 已知函数
和函数
，若
，
，使得
成立，求
的取值范围_____________.
练2-1. 已知函数
，
，
为实数，对任意的
，总存在
，有
成立，求实数
的取值范围.
例2-2. （2018-2019年合肥六中段一第12题）
已知奇函数
在
上单调递增，且
，若
对所有的
，当
时都成立，则实数
的取值范围是____________.
练2-2. （2018-2019年合肥一中段一第22题）
已知
为定义在
的奇函数，且
，任意
，
时，有
，任意的
，存在
使得
成立，求
取值范围.
例2-3. （2020合肥8中期中16）已知函数
，若
，使得
成立，则实数
的取值范围是 ．
练2-3. （2020合肥7中期中16）已知函数
，
，若对任意
，360docimg_501_，总存在360docimg_502_，360docimg_503_，使360docimg_504_成立，则实数360docimg_505_的取值范围为 ．
第八节——分式应用
题型一：分式求最值
例1-1.360docimg_506_ 练1-1. 360docimg_507_
例1-2. 360docimg_508_ 360docimg_509_
练1-2. 360docimg_510_ 360docimg_511_
例1-3. 360docimg_512_. 练1-3. 360docimg_513_
题型二：怎么处理分式
例2-1. 设360docimg_514_，且360docimg_515_为常数，当360docimg_516_时，函数360docimg_517_的最小值是_________________.
练2-1. 已知函数360docimg_518_（360docimg_519_为实数），360docimg_520_，当360docimg_521_时，求函数360docimg_522_在360docimg_523_上的最小值
例2-2. 函数360docimg_524_，若360docimg_525_，则360docimg_526___________________.
练2-2. 函数360docimg_527_，360docimg_528_,若360docimg_529_,求360docimg_530______________.
例2-3. 已知定义域为360docimg_531_的函数360docimg_532_是奇函数，对任意的360docimg_533_，不等式360docimg_534_恒成立，求360docimg_535_的取值范围_______________.
练2-3. 已知360docimg_536_是定义在360docimg_537_上的奇函数.
（1）求360docimg_538_的值；
（2）若360docimg_539_，求实数360docimg_540_的取值范围.
例2-4. （2020-2021六中期中21题）
已知函数360docimg_541_
（1）求360docimg_542_的值；
（2）当360docimg_543_的定义域是360docimg_544_时，求函数360docimg_545_的值域．
练2-4. 已知函数360docimg_546_
（1）若函数360docimg_547_为奇函数，求360docimg_548_的值，并求此时函数360docimg_549_的值域；
（2）若存在360docimg_550_，使360docimg_551_，求实数360docimg_552_的取值范围.
第九节——绝对值
题型一：翻折——去左变偶
例1-1.（2018-2019合肥十中期中第16题）
关于函数360docimg_553_，有下列命题：
①360docimg_554_的图象关于360docimg_555_轴对称；②360docimg_556_的最小值是2；③360docimg_557_在360docimg_558_上是减函数，在360docimg_559_上是增函数；④360docimg_560_没有最大值
其中正确命题的序号是__________________..
练1-1. （2018-2019合肥168期末第2题）
函数360docimg_561_是360docimg_562_ 360docimg_563_
A．最小正周期为360docimg_564_的奇函数 B．最小正周期为360docimg_565_的奇函数
C．最小正周期为360docimg_566_的偶函数 D．最小正周期为360docimg_567_的偶函数
例1-2. 设函数360docimg_568_，则使得360docimg_569_（1）成立的360docimg_570_的取值范围是（ ）
A．360docimg_571_ B．360docimg_572_，360docimg_573_，360docimg_574_ C．360docimg_575_ D．360docimg_576_，360docimg_577_，360docimg_578_
练1-2. （2019-2020合肥168期中10）
已知函数360docimg_579_，则（ ）
A. 360docimg_580_ B.360docimg_581_
C. 360docimg_582_ D.360docimg_583_
例1-3. 函数360docimg_584_的部分图像大致是（ ）
A.360docimg_585_B．360docimg_586_C．360docimg_587_D．360docimg_588_
练1-3. （2018-2019合肥168期末第9题）
函数360docimg_589_的部分图象大致是360docimg_590_ 360docimg_591_
A．360docimg_592_B．360docimg_593_C．360docimg_594_D．360docimg_595_
题型二：翻折——下翻上
例3-1. 已知函数360docimg_596_在360docimg_597_上的最大值为360docimg_598_，则360docimg_599_的取值范围是（ ）
A．360docimg_600_ B．360docimg_601_ C．360docimg_602_ D．360docimg_603_
练3-1. 已知函数360docimg_604_，求函数在360docimg_605_上的值域.
例3-2. 已知函数360docimg_606_，360docimg_607_，使得360docimg_608_，则实数360docimg_609_的最大值是_____________.
练3-2. 已知函数360docimg_610_，360docimg_611_，使得360docimg_612_，则实数360docimg_613_的最大值是_____________.
题型三：分类讨论
例3-1. 已知函数360docimg_614_，其中360docimg_615_．
（1）当360docimg_616_时，求不等式360docimg_617_的解集；
（2）若存在360docimg_618_，使得360docimg_619_，求实数360docimg_620_的取值范围．
练3-1. （2020-2021合肥庐阳期中22题）已知函数360docimg_621_
（1）当360docimg_622_时，求函数360docimg_623_的单调递增区间.
（2）当360docimg_624_时，360docimg_625_的最大值为360docimg_626_，求实数360docimg_627_的取值范围.
例3-2. 已知函数360docimg_628_．
（1）当360docimg_629_时，求不等式360docimg_630_的解集；
（2）若关于360docimg_631_的不等式360docimg_632_在360docimg_633_，360docimg_634_有解，求实数360docimg_635_的取值范围．
练3-2. 已知函数360docimg_636_，360docimg_637_．
（1）若360docimg_638_时，解不等式360docimg_639_；
（2）若关于360docimg_640_的不等式360docimg_641_在360docimg_642_，360docimg_643_上有解，求实数360docimg_644_的取值范围．
第十讲 计算能力培养
题型一：指对计算
（1）360docimg_645___________;
（2）360docimg_646___________;
（3）360docimg_647___________;
（4）360docimg_648___________;
（5）360docimg_649___________;
（6）360docimg_650___________;
（7）360docimg_651___________;
（8）360docimg_652___________;
题型二：因式分解
（1）360docimg_653___________;
（2）360docimg_654___________;
（3）360docimg_655___________;
（4）360docimg_656___________;
（5）360docimg_657___________;
（6）360docimg_658___________;
（7）360docimg_659___________;
（8）360docimg_660___________;
（9）360docimg_661___________;
（10）360docimg_662___________;
题型三：比较大小
（1）360docimg_663_
（2）360docimg_664_
（3）360docimg_665_
（4）360docimg_666_
（5）360docimg_667_
题型四：计算
（1）已知360docimg_668_，用360docimg_669_表示360docimg_670_
（2）已知360docimg_671_，求
①360docimg_672___________; ②360docimg_673___________;
③360docimg_674___________; ④360docimg_675___________;
（3）已知正实数360docimg_676_满足360docimg_677_
①求360docimg_678_的值
②比较360docimg_679_的大小
（4）函数360docimg_680_的图像关于点___________对称
题型五：解方程组
（1）360docimg_681_ （2）360docimg_682_
题型六：三角函数
（1）已知360docimg_683_，则360docimg_684_（ ）
A．360docimg_685_ B．360docimg_686_ C．360docimg_687_ D．360docimg_688_
（2）设360docimg_689_是以360docimg_690_为周期的奇函数，且360docimg_691_，若360docimg_692_，则360docimg_693_的值等于 ．
（3）已知360docimg_694_，360docimg_695_，则360docimg_696_ 360docimg_697_
A．360docimg_698_ B．360docimg_699_ C．2 D．360docimg_700_
（4）已知函数360docimg_701_在360docimg_702_时取得最大值，则360docimg_703_ ．
（5）已知360docimg_704_．求下列各式的值：
（1）360docimg_705_；
（2）360docimg_706_
（6）已知360docimg_707_，则360docimg_708_（ ）
A. 360docimg_709_ B.360docimg_710_ C.360docimg_711_ D.360docimg_712_
（7）已知360docimg_713_，则360docimg_714_的值是（ ）
A. 360docimg_715_ B.360docimg_716_ C.360docimg_717_ D.360docimg_718_
（8）已知360docimg_719_
求：（1）360docimg_720_的值；（2）360docimg_721_的值