数学概念，应该是很重要的吧，有的学生数学成绩不好，就被归因为“概念不清”。我虽然没有做过调查，不过印象中，这和“计算能力差”“粗心”“基础不牢”好像可以算是“数学差”的几个最大的原因了。本文就说说数学概念中的几个问题。
我们从小学开始就接触数学概念，比如可能很多人还记得小学数学应用题里“增长了”、“增长到”，以及“谁是谁的几倍”、“谁能被谁整除”这样的词汇。这些都是应该被认真对待的，不过难度不大，只要注意听讲也就可以了。随着进一步深入学习，数学概念也越来越复杂抽象。极限概念就是很多人学习微积分的第一个下马威。除此以外，连续、导数、微分等等都不太容易。然而，如果你没有掌握这些概念，那就没法学下去了。比如为什么连续不一定可导，而可导一定连续？说到这里，我要提一个真实示例，就是最近因为“停课不停学”，我“远程”帮助一个亲戚家的孩子做了几道题，发现她就是没掌握概念，比如不知道极值点是导数等于 0 的点……依我看来，要想掌握好这些概念，一是要熟悉定义，要真正弄懂那些经常出现的“最多一个（两个）”、“任意”、“无穷多”，还可以用语文课里学到的分析句子成分的方法，弄清楚哪个词修饰哪个词，哪些词是联接词；二是要结合具体的例子，既结合以前学过的比较初等的数学对象，也要注意到新概念还包括哪些比较“高级”的对象。我们以“异面直线”为例，定义是 “不在同一平面内的两条直线互为异面直线” ：第一，我们要明白这里的“同一平面”是指“任意的一个平面”，不仅包括图中所画出的平面，也包括没有画出的平面；第二，异面直线是和“相交线”、“平行线”并列的概念，因此只要两条直线既不平行也不相交，那就一定异面；第三，异面直线说的是“互为”，即如果 a 和 b 异面，则 b 也和 a 异面。
有一类概念似乎“说不清楚”，比如一些网友争论“”和“”是不是方程。这个“方程”概念就是典型的例子。查下资料，好像没有哪个数学家仔细研究过前面所给等式是不是方程的。为什么？我们要注意，方程是一个和解题无关的概念。一般意义上的方程概念，远不及方程“元”和“次”重要，因为这两个下位概念决定了解方程的方法。只不过教材为了体系的完整性不得不先给个方程定义罢了——你总不能在说方程概念之前就说一元一次方程这个概念吧。而“”是不是方程之所以会成为问题，无非是因为有的练习题就是这么问的。这样的数学题真是害人不浅，它们会让学生觉得这样的问题是数学中绝顶重要的问题。数学中还有另外一类“说不清楚”的概念，比如集合、点、直线、平面等等，这就是所谓的“基本概念”。有的数学书上说这些概念没法定义，但是并没有进一步解释清楚。事实上，数学里所谓“没法定义”的概念，是说没法用“属性+类名”的方法定义，或者说即使勉强把对这些概念的说明性文字写成“属性+类名”的样子，也对于解题（或者进一步说，是研究数学问题）毫无意义。但是，我们究竟还是要研究这些对象的，那怎么办呢？解决方法是用公理来限制概念。不同的数学系统往往有不同的公理，比如集合公理、自然数公理、几何公理等等。数学家通过公理，来保证大家对同一个公理的理解都一样。话说回来，如果要让我给中小学老师提建议，我会提醒老师们注意这些“说不清楚”的概念对象的性质。比如有的老师让学生背面积定义，这还不如让学生背面积公式，如果一定要背点什么的话。除此以外，不同层次的数学理论，对同一个概念的定义也可能不完全一致。比如说高中和初中的函数定义就不一样，大学又会有变化，不过这里变化的主要是“内涵”，或者说是关于函数的描述，而非其“外延”，即函数一词包含的范围。如果要找一个外延也变化的概念，方程大概可以算一个：因为我们刚开始学方程时只是求“数”，后来还求“函数”，比如微分方程。不仅如此，随着数学研究对象的变化，基本运算——特别是“乘法”——也经历了扩展。另外，“指数”概念最早仅包括正整数，后来逐步扩大到全体整数、有理数、实数乃至复数，也是很有意思的。
作者: 刘瑞祥, 原文自 http://blog.sina.cn/dpool/blog/s/blog_b2ad877f0102yx5y.html, [遇见数学] 授权微信发布.
