【NO.216】函数零点的性质

函数零点问题是整个高中数学里至关重要的一个知识点，也是考试经常考察的一个方向。从高一的初等函数开始到高二的导数，都是紧密结合的考点。

1、函数零点，方程，图像交点的相互转化：有关零点个数及性质的问题会用到这三者的转化，且这三者各具特点：

（1）函数的零点：有“零点存在性定理”作为理论基础，可通过区间端点值的符号和函数的单调性确定是否存在零点

（2）方程：方程的特点在于能够进行灵活的变形，从而可将等号两边的表达式分别构造为两个可分析的函数，为作图做好铺垫

（3）图像的交点：通过作图可直观的观察到交点的个数，并能初步判断交点所在区间。

2、此类问题的处理步骤：

（1）作图：可将零点问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像（这一点重要，但是也是比较困难的一步）

（2）确定变量范围：通过图像与交点位置确定参数和零点的取值范围

（3）观察交点的特点（比如对称性等）并选择合适的方法处理表达式的值。

3、处理此类问题往往有两种手法，一是代换法，一是对称法。后者需要考生观察出重要的对称性。

下面给出读者一些相关试题进行研究学习

上述的每一个试题都比较有难度，也比较经典，我们从中选择几个试题做一下解析。

第一题

如上图所示，函数图像。显然0<a<1<b

清楚的画出函数图像是第一步，利用代换法找出a与b的关系是关键。

比如说第二题

这个问题的关键点在于对称型，观察到a与b是关于二分之π对称的。

比如说第4题

画出函数图像

上图中的两个交点分别是x1,x2，则x1<0<x2,x3<0<x4

这也是一种代换法将问题进行了转化。

剩下的问题读者自行研究体会。需要答案可以后台进行回复交流。