两个常见的增长率模型
王 桥
数学的本质目的是为了应用。
把生活中的具体的实际问题，抽象成数学问题，建立数学模型，并运用这个数学模型，再去解决生活中的实际问题，集中体现了从特殊到一般，又从一般到特殊的数学思想，和从实践到理论，再从理论指导实践的辩证关系。
而增长率类问题，更是中考数学模型教学和方程思想的经典范例。请看：
那么，这两个模型究竟是怎么建立起来的呢？
老王也是反对直接套用结论，盲目的死记硬背这些结论的——结果重要，建模的过程更重要！
解决这类问题，首先要明白这几个概念以及这些概念之间的关系：
1、基础量+增长量=增后量；
2、增长率=增长量/基础量。
这两个是最基本的关系。由这两个关系还可以得到一些变形关系，譬如：增后量-增长量=基础量；增后量-基础量=增长量；基础量=增长量/增长率；基础量×增长率=增长量。
为了更加直观的理解这些量之间的关系，我们不妨举例如下：某种产品元月份的产量为100万件，2月份比元月份多生产了20万件，即2月份的产量达到了120万件。其中：
基础量：100万件
增长量：20万件
增后量：120万件
增长率：20%
备注：“增后量”是老王对“增长后的量”的简称，也有老师把这个量叫做“现有量”。
那么，如果2月份和3月份的增长率相同，3月份的增长量是多少？3月份的产量是多少呢？
此时，2月份的产量120万件就是基础量。根据“基础量×增长率=增长量”，得3月份的产量为120×20%=24（万件）；再根据“基础量+增长量=增后量”得，3月份的产量为：120+24=144（万件）.
那么，如果变换一下情景，改为：若知道某工厂元月份的称量为100万件，3月份的产量为144万件，如果2月份和3月份的增长率相同，求这个增长率（或2、3月份的平均增长率）是多少？
分析：假设这个增长率为x
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基础量 |
增长量 |
增后量 |
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2月 |
100 |
100x |
100+100x =100（1+x） |
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3月 |
100(1+x) |
100(1+x)x |
100(1+x)+100(1+x)x=100(1+x)2=144 |
则有方程100(1+x)2=144
解得x=20%......
如果把这个问题一般化一些，建立一个数学模型，则有：基础量为a，以x的增长率（或递减率）连续增长（或递减）了2次，产量达到b，则有方程：a(1±x)2=b；
建模虽然略麻烦些，但是用起来非常方便啊。请看：
例1、(2021福建)某市2018年底森林覆盖率为63%．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，2020年底森林覆盖率达到68%，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，那么，符合题意的方程是（ ）
A.0.63(1+x)＝0.68
B,0.63(1+x)2＝0.68
C,0.63(1+2x)＝0.68
D.0.63(1+2x)2＝0.68
——选自《沙场秋点兵》2022版“一元二次方程的应用”
解析：基础量为63%，增后量为68%，直接套用模型，则有0.63（1+x）2＝0.68，故选B。
例2、（2021盐城）劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为 ．——选自《沙场秋点兵》2022版“一元二次方程的应用”
解析：解析：基础量为300，增后量为363，直接套用模型，则有300（1+x）2＝363。
备注：
1、这个基础量和增后量（如果递减为“减后量”），可以是一个基础数量和一个增长（递减）后的数量。可以类比到类似的所有的数据增加（或递减）的实际应用。
2、这个模型甚至可以推广到整整了n次的情况：基础量为a，以x的增长率（或递减率）连续增长（或递减）了n次，产量达到b，则有方程：a(1±x)n=b；
3、基础量为a，以x的增长率（或递减率）连续增长（或递减）了2次，三次产量之和为c，则有方程：a+a(1±x)+a(1±x)2=c.
例3、（2020黔西南州）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了 个人．——选自《沙场秋点兵》2022版“一元二次方程的应用”
解析：设平均每个人传染了x人，则有1（1+x）2=121，解得x=10.
例4、我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（ ）
A．8% B．9%
C．10% D．11%
——选自《沙场秋点兵》2021版“一元二次方程的应用”
解析：设平均每次下调的备份率为x，则有6000（1—x）2=4860，解得x=9%，故选B
例5、(2021宜宾)据统计，2021年第一季度宜宾市实现地区生产总值约652亿元，若使该市第三季度实现地区生产总值960亿元，设该市第二、三季度地区生产总值平均增长率为x，则可列方程 ．——选自《沙场秋点兵》2022版“一元二次方程的应用”
解析：依题意得：652+652(1+x)+652(1+x)2=960.