22数列解法第一招：天造地设-构造法求通项

数列解法第一招：天造地设-构造法求通项

在解决数列已知递推关系求解通项问题时，通常运用加减乘除、去分母、添项去项、取对数、待定系数法等方法，进行命题转换，将递推关系式变形为适当的辅助模型（例如：等比数列模型、等差数列模型等），从而找到新的解决问题的途径的思维方法，通常称为构造法求通项.

构造等差数列:一般地,形如

或

,可利用取倒数的运算,得

,构造

是公差为

的等差数列.

构造等比数列:一般地,①形如

(其中

为关于

的一次式),可利用待定系数法,得到

,构造

是公比为

的等比数列.特别地,当

为常数项时,可构造

是公比为

的等比数列.

②形如

,可利用待定系数法,得到

,从而可得

为等比数列,进而利用累加法求通项公式或转化成形如

的形式继续构造等比数列求解.

③形如

,利用两边取常用对数,可得到

,从而构造

为等比数列.

(2020·全国Ⅲ卷·理17)设数列

满足

,

.

(1)计算

,

,猜想

的通项公式并加以证明;

(2)求数列

的前

项和

.

【答案】(1)

,

,

,证明见解析;(2)

.

【分析】(1)利用递推公式得出

,猜想得出

的通项公式,利用数学归纳法证明即可;

温馨提示:求此通项公式也可利用构造法,即利用待定系数法,设

,转换数列求解.

(2)由错位相减法求解即可.

【解析】(1)由题意可得

,

,

由数列

的前三项可猜想数列

是以

为首项,2为公差的等差数列,即

,

证明如下:

当

时,

成立;

假设

时,

成立.

那么

时,

也成立.

则对任意的

,都有

成立;

(2)由(1)可知,

①

②

由①

②得:

,

即

.

1:(原创)在数列

中,

,

(1)求数列

的通项公式;

(2)设

,求数列

的前

项和

.

2:(原创)在数列

中,

,

(1)求数列

的通项公式;

(2)设

,求数列

的前

项和

.

3. (原创)在数列

中,

,

,求数列

的通项公式;