【科学大唠嗑】量子的奥秘（7）薛定谔不只有猫 / 开普饭

科学大唠嗑

张喆

天津市天文学会会员

天津科技馆科普辅导员

读书会共读老师

在海森堡的矩阵力学出现没有多久，泡利和狄拉克两个人就转向了矩阵力学，推导氢发射光谱的主要特征，也就是著名的巴尔末公式。1926年1月17日，泡利向《物理学杂志》提交了一篇论文，陈述他的研究结果。而就在五天后，狄拉克向《英国皇家学会会刊》提交了他的论文，前前后后两个也就相差这么几天。

泡利还运用新的力学来解释斯塔克效应。斯塔克效应以德国物理学家约翰内斯·斯塔克命名，指的是在静电场中光谱线分裂的问题。此外，矩阵力学理论尚不完全符合相对论——也就是说，它不符合爱因斯坦狭义相对论的要求。而且它与泡利的不相容原理、电子自旋以及反常塞曼效应还都不相容。

虽然老一辈物理学家对于矩阵力学中数学公式的复杂性和缺乏“直观性”比较头疼，但对于新一代量子物理学家来说，这里却似一个欢乐的地方。

泡利在论文中写道：“海森伯的量子理论彻底避开了原子的稳定轨道下电子运动的力学—运动学直观性。”意思很明确了。要想取得进展，首先必须抛弃经典物理学遗留下来的概念，把注意力集中于在实验室中可观察和可测量的东西上。

量子理论的发展似乎有了方向。不过，量子革命的那些年轻科学家们的风头，即将被38岁的奥地利物理学家埃尔温·薛定谔抢走。当他发表自己的成果的时候，新量子理论的图景几乎已经彻底变样了。

1910年5月，薛定谔拿到了维也纳大学的物理学博士学位。1914年，服完一年多义务兵役之后，他回到维也纳大学，获得了讲师的职位。随后“一战”爆发，他又服了四年兵役，中断了研究生涯。1917年，薛定谔返回维也纳，并在1920年晋升为副教授。之后他又先后搬往耶拿、斯图加特、布雷斯劳等城市，并在1921年获得了苏黎世大学理论物理学教授的职位。

1921年10月，薛定谔搬到了苏黎世。几个月后，医生诊断他疑似患有肺结核，要求他完全静养治疗。他就到了阿尔卑斯山区的阿罗萨度假区，住在一处别墅中。此处毗邻著名的达沃斯滑雪胜地，9个月之后，薛定谔慢慢恢复了健康。山区海拔高，环境相对封闭，给薛定谔提供了宝贵的思考时间，在身体恢复的同时，他写下了两篇科学论文。1922年11月，薛定谔返回苏黎世，重新开始紧张而忙碌的教学工作。12月9日，他完成了被推迟的教授就职讲座。

由于教学工作繁重，他做研究的时间很少。作为科学家，薛定谔精通多个领域，知识广博且成就颇多，获得了广泛的赞誉。但在他自己熟悉的物理科学领域，薛定谔还没有做出过什么显著的贡献。他只能眼睁睁地看着年轻一代的物理学家把自己抛在身后。他似乎已经被挤到了边缘地带。1924年，当他受邀参加比利时工业家富豪欧内斯特·索尔维发起的第四届索尔维会议时，甚至都没人要求他提交任何会议论文。

薛定谔生活中很多乱七八糟的事情影响了他的工作。1923年，他一篇论文都没有发表。第二年，他重新开始了自己的研究工作。1925年10月，在爱因斯坦刚发表的论文中，一个脚注吸引了他的注意力。脚注中提到德布罗意做的“一个非常值得注意的贡献”。

1922年在阿罗萨休养期间，薛定谔曾写过一篇题为《论单个电子的量子化轨道所具备的一个显著特性》的论文，发表在《物理学杂志》上。他从好友外尔那儿获得了灵感，产生了一些想法。以此为基础，他注意到稳定电子轨道和所谓的“规范因子”，就是轨道本身的特点之间存在一种关系。他发现，如果把规范因子解释为相位因子，就能理解不同电子轨道之间的关系。

虽然当时意识到这一点很重要，但薛定谔还是选择不再深入研究。薛定谔带着好奇找到了德布罗意的论文，他意识到之前注意到的关系就是德布罗意所指的在围绕原子核的圆形轨道上产生电子驻波的相位条件。

苏黎世大学和苏黎世联邦理工大学的物理学家形成了定期联合举行学术讨论会的习惯，讨论会每两周举行一次，就近期双方感兴趣的课题进行讨论。法国期刊《物理纪事》刚发表了一篇德布罗意的论文，德拜问薛定谔要不要就这篇论文准备一次讨论会，由薛定谔来介绍这篇论文。薛定谔同意了，并于11月3日写信给爱因斯坦，信中提及他1922年写的电子轨道方面的论文，并将两篇论文做了对比，薛定谔认为德布罗意是在他的全面理论框架内进行思考的，总体来说，要比其单一论述有价值得多。

1925年圣诞节前几天，薛定谔离开苏黎世，动身去瑞士的阿尔卑斯山地区小住几日。1922年在阿罗萨疗养期间他就住在那里，他随身携带的还有针对德布罗意的论文做的笔记。据说疗养期间薛定谔是和他的一个就相好在一起的，我们不知道这位旧相好到底是谁，也不知道她对薛定谔产生了什么影响，但在1926年1月8日回到苏黎世的时候，薛定谔已经发现了波动力学。

从经典物理学出发不可能严格地在物理上推导出量子力学的波动方程。但是，顺着薛定谔当时笔记上的推导，却是可能的。他从经典波动方程出发，将波函数描述的所有波动形式的时间和空间依赖性关联了起来。最初，他用的是与时间无关的波动方程，因为它更适合描述驻波。

深入到经典波动方程后，薛定谔把德布罗意推导出的粒子的动量和波动频率的关系式替换掉了。他意识到，要想获得有意义的波动方程的解，就必须对电子波函数的形式做些假设。他需要限制可以接受的函数的种类，更确切地说，函数必须在给定的空间坐标中只有一个值、而且是有限和连续的。

像德布罗意一样，薛定谔采用了完全与相对论匹配的方法，尝试在符合爱因斯坦狭义相对论要求的情况下推导出氢原子的电子的波动方程。他把电子波函数置于特定的坐标系中，这个坐标系更适于求解球形静电场中运动的问题。这就是所谓的球面极坐标系，他发现他可以把波函数分解成两个独立的函数：一个是“径向”函数，一个是角函数，结果会得出一系列非常复杂的微分方程。

到这里，已经是薛定谔数学能力的极限了。如果说球谐函数的微分方程他尚能解决，径向函数方程他就怎么也应付不了了。无论如何，他觉得他已经看到足够多的东西了。

1926年1月8日，薛定谔返回苏黎世，并立即向好朋友外尔寻求帮助。大约一周之内，他就解决了径向函数的微分方程的问题。现在，他必须要解决半整数的量子数问题，薛定谔又转头回到非常相似的非相对论波动方程，这个方程的结果只有整数值。此时此刻，所有谜团的解摆在了他的面前。

通过限制在原子核附近的三维电子波函数的性质，波函数可能的解的一种特定模式自然而然的直接出现了。薛定谔发现径向函数的解取决于两个整数，这两个整数分别等同于两个主量子数，而角函数的解取决其他的量子数。不同解的能量值由主量子数的平方决定，如此就重新推导出了巴尔末公式。

薛定谔在论文中详述了他的研究，并把论文寄给了《物理年鉴》。1926年1月27日，杂志社收到他的论文，这时距离他做出最初的发现不过三周的时间，而距离《物理学杂志》收到泡利的论文也不过10天的时间。

对薛定谔来说，波动力学的成功意味着有机会把经典力学的重要元素重新引入量子化的图景中。现在，他试图把电子在不可见的电子轨道之间发生的不连续的量子跃迁，用一个更经典的、更具视觉化的图像替代掉，就是系统定态波函数之间的平滑和连续的变化。

1926年1月到6月的这六个月中，薛定谔相当高产，就新的波动力学写出了六篇具有高度创新性的论文。薛定谔在其中一篇论文中阐述了矩阵力学和波动力学在数学上的等价关系。虽然海森堡对此存有疑虑，但薛定谔的杰作已经吸引了众多拥护者。现在，大家都把注意力转到电子的波函数身上了。波函数究竟是什么，又该如何诠释呢？

【科学大唠嗑】量子的奥秘（7）薛定谔不只有猫

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