2020年深圳中考数学几何压轴题母题探究

昨天介绍了2020年深圳中考数学几何压轴题，接下来介绍一道同类题。也可以称之为该题的母题。

【节选】（2020·深圳）

正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且AE/AG=AB/AD=2/3，AE＝4，AB＝8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG．小组发现：在旋转过程中，DE²+BG²的值是定值，请求出这个定值．

通过去粗取精，可以得到一个核心的图形，如下图绿色部分：

【母题探究】

（2019·天水）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；

（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB²+CD²＝AD²+BC²；

（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．

【分析】

题（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；

题（2）连接对角线，利用勾股定理建立等量关系即可；

题（3）只需在题（2）的基础上面，分别求出CG²，BC²和BE²即可．

【答案】解：（1）四边形ABCD是垂美四边形，理由如下：

∵AB＝AD，

∴点A在线段BD的垂直平分线上，

∵CB＝CD，

∴点C在线段BD的垂直平分线上，

∴直线AC是线段BD的垂直平分线，

∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；

（2）如图2，

∵AC⊥BD，

∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，

由勾股定理得，AD²+BC²＝AO²+DO²+BO²+CO²，

AB²+CD²＝AO²+BO²+CO²+DO²，

∴AD²+BC²＝AB²+CD²．

（3）连接CG、BE，

∵∠CAG＝∠BAE＝90°，

∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，

在△GAB和△CAE中，AG=AC，∠GAB=∠CAE，AB=AE，

∴△GAB≌△CAE（SAS），

∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°，

∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，

∴四边形CGEB是垂美四边形，

由（2）得，CG²+BE²＝CB²+GE²，

∵AC＝4，AB＝5，

∴BC＝3，CG＝4√2，BE＝5√2，

∴GE²＝CG²+BE²﹣CB²＝73，

∴GE=√73．

【总结】

经典的人人都爱，所以往年一些典型的中考真题偶尔也可以翻出来复习复习。

因此，有以下命题：

“四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，则

AB²+CD²＝AD²+BC²”。