丘成桐：数学和中国文学的比较（下）

丘成桐 数学与人文 2016-02-20

（1969年，年轻的丘成桐在香港新界的海边打太极拳）

【作者简介：丘成桐，当代数学大师，现任哈佛大学讲座教授，学术影响遍及理论物理和几乎所有核心数学分支。年仅33岁就获得代表数学界最高荣誉的菲尔兹奖(1982)，此后获得MacArthur天才奖(1985)、瑞典皇家科学院Crafoord奖(1994)、美国国家科学奖(1997)、沃尔夫奖(2010)等众多大奖。现为美国科学院院士、中国科学院和俄罗斯科学院的外籍院士。】

本文载于高等教育出版社“数学与人文”丛书第16辑《数学与生活》，网络转载请注明出处，商业用途请联系本社。http://academic.hep.com.cn/mh

5. 数学的意境

王国维在《人间词话》中说：

词以境界为最上。有境界则自成高格······有造境，有写境，此理想与写实二派之所由分。然二者颇难分别，因大诗人所造之境必合乎自然，所写之境亦必邻于理想故也。有有我之境，有无我之境。“泪眼问花花不语，乱红飞过秋千去。”······有我之境也。“采菊东篱下，悠然见南山。”······无我之境也。有我之境，以我观物，故物皆着我之色彩。无我之境，以物观物，故不知何者为我，何者为物。

无我之境，人惟于静中得之。有我之境，于由动入静时得之，故一优美，一宏壮也。自然中之物则互相关系，互相限制。然其写之于文学及美术中也，必有其关系限制之处。故虽写实家亦理想家也。又虽如何虚构之境，其材料必求之于自然，而其构造亦必从自然之法则。故虽理想家亦写实家也。

数学研究当然也有境界的概念，在某种程度上也可谈有我之境、无我之境。当年欧拉开创变分法和推导流体方程，由自然现象引导，可谓无我之境；他又凭自己的想象力研究发散级数，而得到Zeta 函数的种种重要结果，开三百年数论之先河，可谓有我之境矣。另外一个例子是法国数学家格罗滕迪克(A. Grothendieck)。他著述极丰，以个人的哲学观点和美感出发，竟然不用实例，建立了近代代数几何的基础，真可谓有我之境矣。

在几何的研究中，我们发现狄拉克在物理上发现的旋子在几何结构中有魔术性的能力。我们不知道它内在的几何意义，它却替我们找到几何结构中的精髓。在应用旋子理论时，我们常用的手段是通过所谓消灭定理而完成的，这是一个很微妙的事情。我们制造了曲率而让曲率自动发酵去证明一些几何量的不存在，可谓无我之境矣。以前我提出用爱氏结构来证明代数几何的问题和用调和映像来看研究几何结构的刚性问题也可作如是观。

不少伟大的数学家，以文学、音乐来培养自己的气质，与古人神交，直追数学的本源，来达到高超的意境。

《文心雕龙·神思篇》：

文之思也，其神远矣。故寂然凝虑，思接千载；悄焉动容，视通万里。吟咏之间，吐纳珠玉之声；眉睫之前，卷舒风云之色，其思理之致乎！

6. 数学的品评

好的工作应当是文已尽而意有余。大部分数学文章质木无文，流俗所好，不过两三年耳。但是有创意的文章，未必为时所好，往往十数年后始见其功。

我曾经用一个崭新的方法去研究调和函数，以后和几个朋友一同改进了这个方法，成为热方程的一个重要工具。开始时没有得到别人的赞赏，直到最近五年大家才领会到它的潜力。然而我们还是锲而不舍地去研究，觉得意犹未尽。

我的老师陈省身先生在他的文集中引杜甫诗“文章千古事，得失寸心知”。而杜甫就曾批评初唐四杰的作品“王杨卢骆当时体，不废江河万古流”。

时俗所好的作品，不必为作者本人所认同。举个例子，白居易留传至今的诗甚多，最出名之一是《长恨歌》，但他给元微之的信中却说：

及再来长安，又闻有军使高霞寓者欲聘娼妓，妓大夸曰：“我诵得白学士《长恨歌》，岂同他妓哉。”······诸妓见仆来，指而相顾曰：“此是《秦中吟》、《长恨歌》主耳！”自长安抵江西，三四千里······每每有咏仆诗者，此诚雕虫之戏，不足为多，然今时俗所重，正在此耳。

白居易说谢朓的诗丽而无讽。其实建安以后，绮丽为文的作者甚众。亦自有其佳处，毕竟钟嵘评谢朓诗为中品，以后六朝骈文、五代《花间集》以至近代的鸳鸯蝴蝶派都是绮丽为文。虽未殝上乘，却有赏心悦目之句。

数学华丽的作品可从泛函分析这种比较广泛的学问中找到，虽然有其美丽外表和重要性，但与自然之道总是隔了一层。举例来说，从函数空间抽象出来的一个重要概念叫作巴拿赫空间，在微分方程学有很重要的功用，但是以后很多数学家为了研究这种空间而不断地推广，例如有界算子是否存在不变空间的问题，确是漂亮，但在数学大流上却未能激起任何波澜。

在20世纪70年代，高维拓扑的研究已成强弩之末，作品虽然不少，但真正有价值的不多，有如“野云孤飞，去留无迹”。文气已尽，再无新的比兴了。当时有拓扑学者做

群作用于流形的研究，确也得到某些人的重视。但是到了80年代，值得怀念的工作只有博特(R. Bott)的局部化定理。

能经得起时间考验的工作寥寥无几，政府评审人才应当以此为首选，不应以文章篇数和被引用次数来作指标。

7. 数学的演化

王国维说：

四言敝而有《楚辞》，《楚辞》敝而有五言，五言敝而有七言，古诗敝而有律绝，律绝敝而有词。盖文体通行既久，染指遂多，自成习套。豪杰之士，亦难于其中自出新意，故遁而作他体以自解脱。一切文体所以始盛终衰者，皆由于此，故谓文体后不如前，余未敢信。但就一体论，则此说固无以易也。

数学的演化和文学有极为类似的变迁。从平面几何至立体几何，再至微分几何等，一方面是工具得到改进，另一方面是对自然界有进一步的了解，将原来所认识的数学结构的美发挥至尽后，需要进入新的境界。江山代有人才出，能够带领我们进入新的境界的都是好的数学。上面谈到的高维拓扑文气已尽，假使它能与微分几何、数学物理和算术几何组合变化，亦可振翼高翔。

我在香港念数学时，读到苏联数学家盖尔范德（I. M. Gel'fand）的看法，用函数来描述空间的几何性质，使我感触良深，以后在研究院时才知道，代数几何学家也用有理函数来定义代数空间，于是我猜想一般的黎曼流形应当也可以用函数来描述空间的结构。但是为了深入了解流形的几何性质，我们需要的函数必须由几何引出的微分方程来定义。可是一般几何学家厌恶微分方程，我对它却情有独钟，与几个朋友合作将非线性方程带入几何学，开创了几何分析这门学问，解决了拓扑学和广义相对论的一些重要问题。在1981年时我建议朋友哈密顿(R. Hamilton)用他创造的方程去解决三维拓扑的基本结构问题，20多年来他引进了不少重要的工具，运用上述我和李伟光在热方程的工作，深入地了解奇异点的产生。两年前俄国数学家佩雷尔曼(G. Perelman)更进一步地推广了这个理论，很可能完成了我的愿望，将几何和三维拓扑带进了新纪元。

八年前我访问北京，提出全国向哈密顿先生学习的口号。广州的朱熹平接受我的建议，锲而不舍地钻研，他的工作已经远超国内外成名的中国学者。

当一个大问题悬而未决的时候，我们往往以为数学之难莫过于此。待问题解决后，前途豁然开朗，看到比原来更为灿烂的火花，就会有不同的感受。这点可以跟庄子《秋水篇》比较：

秋水时至，百川灌河，泾流之大，两涘渚崖之间，不辨牛马。于是焉河伯欣然自喜，以天下之美为尽在已，顺流而东行，至于北海，东面而视，不见水端，于是焉河伯始旋其面目，望洋向若而叹曰：“野语有之曰：'闻道百，以为莫已若者。’我之谓也。且夫我尝闻少仲尼之闻，而轻伯夷之义者，始吾弗信；今我睹子之难穷也。吾非至于子之门，则殆矣。吾长见笑于大方之家。”

科学家对自然界的了解，都是循序渐进的，在不同的时空自然会有不同的感受。有学生略识之无后，不知创作之难，就连陈省身先生的大作都看不上眼，自以为见识更为丰富，不自见之患也。人贵自知，始能进步。

庄子：

今尔出于崖涘，观于大海，乃知尔丑，尔将可与语大理矣。

我曾经参观德国的哥廷根大学，看到19世纪和20世纪伟大科学家的手稿，他们传世的作品只是他们工作的一部分，很多杰作都还未发表，使我深为惭愧，更为钦佩他们的胸襟。今人则不然，大量模仿，甚至将名作稍为改动，据为己有，尽快发表。或申请院士，或自炫为学术宗匠，于古人何如哉！

8. 数学的感情

为了达到深远的效果，数学家需要找寻问题的精华所在，需要不断地培养我们对问题的感情和技巧。这一点与孟子所说的养气相似。气有清浊，如何寻找数学的魂魄，视乎我们的文化修养。

白居易说：

圣人感人心而天下和平，感人心者，莫先乎情，莫始乎言，莫切乎声，莫深乎义······未有声入而不应，情交而不感者。

严羽《沧浪诗话》：

盛唐诸公惟在兴趣，羚羊挂角，无迹可求。故其妙处透澈玲珑，不可凑拍，如空中之音，相中之色，水中之影，镜中之象，言有尽而意无穷。

我的朋友哈密顿先生，他一见到问题可以用曲率来推动，就眉飞色舞。另外一个澳洲来的学生，见到与爱因斯坦方程有关的几何现象就赶快找寻它的物理意义，兴奋异常，因此他们的文章都是清纯可喜。反过来说，有些成名的学者，文章甚多，但陈陈相因，了无新意。这是对自然界、对数学问题没有感情的现象，他们对名位权利特别重视。在这种情形下，难以想象他们对数学、对自然界会有深厚的感情。

数学的感情是需要培养的，慎于交友才能够培养气质。博学多闻，感慨始深，堂庑始大。欧阳永叔：

人间自是有情痴，此恨不关风与月。

直须看尽洛城花，始与东风容易别。

能够有这样的感情，才能够达到晏殊所说：

昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路。

浓厚的感情使我们对研究的对象产生直觉，这种直觉看对象而定，例如在几何上叫作几何直觉。好的数学家会将这种直觉写出来，有时可以用来证明定理，有时可以用来猜测新的命题或提出新的学说。

但数学毕竟是说理的学问，不可能极度主观。《诗经》中的《蓼莪》、《黍离》，屈原《离骚》、《九歌》，汉都尉《河梁送别》，李后主忆江南，宋徽宗念故宫，俱是以血书成、直抒胸臆，非论证之学所能及也。

9. 数学的应用

王国维说：

诗人对宇宙人生须入乎其内，又须出乎其外。入乎其内，故能写之；出乎其外，故能观之。入乎其内，故有生气；出乎其外，故有高致。美成能入而不能出，白石以降，于此二事皆未梦见。

词之《雅》《郑》，在神不在貌。永叔、少游虽作艳语，终有品格。方之美成，便有淑女与娼妓之别。

数学除与自然相交外，也与人为的事物相接触，很多数学问题都是纯工程上的问题。有些数学家毕生接触的都是现象界的问题，可谓入乎其内。大数学家如欧拉、傅里叶、高斯、维纳、冯·诺伊曼等都能入乎其内，出乎其外，既能将抽象的数学在工程学上应用，又能在实用的科学中找出共同的理念而发展出有意义的数学。反过来说，有些应用数学家只用计算器做出一些计算，不求甚解，可谓二者皆未见矣。

傅里叶在研究波的分解时，得出傅里叶级数的展开方法，不但成为应用科学最重要的工具，在基本数学上的贡献也是不可磨灭的。近代孤立子的发展和几何光学的研究，都在基本数学上占有重要的位置。

应用数学对基本数学的贡献可与元剧相比较。王国维评元剧：

其作剧也，非有藏之名山，传之其人之意也，彼以意兴之所至为之，以自娱娱人，关目之拙劣，所不问也；思想之卑陋，所不讳也；人物之矛盾，所不顾也。彼但摹写其胸中之感想与时代之情状，而真挚之理与秀杰之气时流露于其间。

例如金融数学旨在谋利，应用随机过程理论，间有可观的数学内容。正如王国维评古诗“何不策高足，先据要路津，无为久贫贱，坎坷长苦辛”，认为“无视其淫词、鄙词者，以其真也”。伟大的数学家高斯就是金融数学的创始人，他本人投资股票而获利，克莱因则研究保险业所需要的概率论。

然而近代有些应用数学家以争取政府经费为唯一目标，本身无一技之长，却巧立名目，反诬告基础数学家对社会没有贡献，尽失其真矣。有如近代小说以情欲、仇杀、奸诈为主题，取宠于时俗，不如太史公《刺客列传》中所说：

自曹沫至荆轲五人，此其义或成或不成，然其立意较然，不欺其志，名垂后世，岂妄也哉。

应用数学家不能立意较然，而妄谈对社会有贡献，恐怕是缘木求鱼了。

10. 数学的训练

好的数学家需要领会自然界所赋予的情趣，因此也需向同道学习他们的经验。然而学习太过，则有依傍之病。顾亭林云：

君诗之病在于有杜，君文之病在于有韩、欧。有此蹊径于胸中，便终身不脱依傍二字，断不能登峰造极。

今人习数学，往往依傍名士，以为凡海外毕业的留学生，都为佳士，殊不知这些名士大半文章与自然相隔千万里，画虎不成反类犬矣。李义山云：

刘郎已恨蓬山远，更隔蓬山一万重。

很多研究生在跟随名师时，做出第一流的工作，毕业后却每况愈下，就是依傍之过。更有甚者，依傍而不自知，由导师提携指导，竟自炫“无心插柳柳成荫”，难有创意之作矣。

有些学者则倚洋自重，国外大师的工作已经完成，除非另有新意，不大可能再进一步发展。国内学者继之，不假思索，顶多能够发表一些二三流的文章。极值理论就是很好的例子。由伯克霍夫（Birkhoff）、莫尔斯（Morse）到尼伦伯格（L. Nirenberg）发展出来的过山理论，文意已尽，不宜再继续了。

推其下流，则莫如抄袭。有成名学者为了速成，竟抄袭名作，居庙堂之上，腰缠万贯而沾沾自喜，良可叹也。

数学家如何不依傍才能做出有创意的文章呢？

屈原说：

纷吾既有此内美兮，又重之以修能。

如何能够解除名利的束缚，俾欣赏大自然的直觉毫无拘束地表露出来，乃是数学家养气最重要的一步。

贾谊：

独不见夫鸾凤之高翔兮，乃集大皇之野。循四极而回周兮，见盛德而后下。彼圣人之神德兮，远浊世而自藏。使麒麟可得羁而系兮，又何以异乎犬羊。

媒体或一般传记作者喜欢说某人是天才，下笔成章，仿佛做学问可以一蹴而就。其实无论文学和数学，都需要经过深入的思考才能产生传世的作品。

柳永：

衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。

一般来说，作者经过长期浸淫，才能够出口成章；经过不断推敲，才有深入可喜的文采。王勃《滕王阁序》，丽则丽矣，终不如陶渊明《归去来辞》、庾信《哀江南赋》、曹植《洛神赋》诸作来得结实。文学家的推敲在于用字和遣词。张衡《两京》、左思《三都》，构思十年，始成巨构，声闻后世，良有以也。数学家的推敲极为类似，由工具和作风可以看出他们特有的风格。传世的数学创作更需要有宏观的看法，也唯有锻炼和推敲才能成功。

曹丕：

古人贱尺璧而重寸阴，惧乎时之过已，而人多不强力；贫贱则慑于饥寒，富贵则流于逸乐，遂营目前之务，而遗千载之功。日月逝于上，体貌衰于下。忽然与万物迁化，斯志士之大痛也。

三十年来我研究几何空间上的微分方程，找寻空间的性质，究天地之所生，参万物之行止。乐也融融，怡然自得；溯源所自，先父之教乎！

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