第19招：摩肩接踵-解三角形中多三角形问题
第19招：摩肩接踵 - 解三角形中多三角形问题
解三角形是高中数学的重点内容,是高考数学的热点问题.这类题目有时会涉及多个三角形,四边形甚至多边形.在解三角形的问题中,若已知条件同时含有边和角,但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案,解题的一般思想是结合题意找出已知条件最多的一个三角形,先从该三角形入手,再根据求得的结果作为条件,利用公共角或边,结合三角形的内角和定理、平行四边形的内错角同位角,逐步求解其余三角形,直到得到答案.
多三角形问题一般会综合几种解三角形模型在一个图形中,往往有一定的难度,要合理利用“边化角”或是“角化边”,活用正弦定理、余弦定理及面积公式.
1.找出三角形中相对条件最多的那个三角形(一般情况下,一个三角形中给定边和角的条件数之和达到3个即可)
(1)若式子中含有正弦的齐次式,优先考虑正弦定理“角化边”;
(2)若式子中含有
、
、
的齐次式,优先考虑正弦定理“边化角”;
(3)若式子中含有余弦的齐次式,优先考虑余弦定理“角化边”;
(4)代数式变形或者三角恒等变换前置;
(5)含有面积公式的问题,要考虑结合余弦定理求解;
(6)同时出现两个自由角(或三个自由角)时,要用到三角形的内角和定理.
2.注意同一个角属于两个三角形中时,如
中
是
上一点,则角
分别属于
和
,此时有机会利用余弦定理进行求解.
3.合理利用互补角的余弦值之和为
这一隐含条件,如
中
是
上一点,,则
与
的余弦值之和为
,可利用余弦定理进行求解.
(2020年江苏省高考数学试卷)在
中,角
的对边分别为
,已知
.
(1)求
的值;
(2)在边
上取一点
,使得
,求
的值.
【答案】(1)
;(2)
.
【解析】
(1)由余弦定理得
,
所以
.
由正弦定理得
.
(2)由于
,
,所以
.
由于
,所以
,所以
.
所以
.
由于
,所以
.
所以
.
1.(河南省新乡市2020-2021学年高二上学期期末数学文科)如图,锐角
外接圆的半径为
,点
在边
的延长线上,
,
,
的面积为
.
(1)求
;
(2)求
的长.
2.在四边形
中,
,
.
(1)若
,求
;
(2)若
,求
.