你有没有观察过函数f(x)=x^2的图形，并注意到如果你把它顺时针旋转90⁰，你会得到根号x和-根号x的并集？

但这是为什么呢？

回顾一下，当只为正数x定义时，x^2和根号x是彼此可逆的。那么，如果我们将某个函数的图形旋转一定的度数θ，一般会发生什么呢？

如果我们能找到一个简单的公式来描述这种关系，然后我们可以在其他函数上使用，那是很不错的。

首先要注意的是，尽管我们可能一开始就有一个函数，但我们不能保证在旋转后也能得到一个函数。回顾一下，一个函数每一个输入只有一个输出。

我们对这个问题的看法是，将某个函数f的图形上的一个点，比如（t，f(t)）视为一个向量，然后用旋转矩阵将其简单地旋转某个角度θ。

如果我们用（x，y）来表示这个操作的输出向量，那么我们就有如下的结果。

当然，这里的x和y取决于θ、t和f，我希望你能理解这种非正式的表示方法。

将右侧的矩阵积相乘，并从向量中提取相应的坐标方程，我们可以得到：

现在，通过在第一个方程中同时乘以cos(θ)在第二个方程中同时乘以sin(θ)然后上下相加，我们得到cos(θ) x + sin(θ) y = t。

在这里，我们用了这个方法。cos² θ + sin² θ = 1，适用于所有实数θ。

这只是单位圆内的毕达哥拉斯定理。

现在我们可以用这个表达式代替上面第二个方程式中的t，得到：

使用上述三角函数的毕达哥拉斯定理进行一些标准推导，我们可以得到：

请注意，这最后一个表达式可以用行列式和内积以更简洁的方式写出来。

这个方程决定了函数f旋转θ度对应的曲线。简单而美丽。

例子

在上面的例子中，f(x)=x^2，让我们试着把这个函数顺时针旋转90度。

那么cos(θ)=0，sin(θ)=-1，我们得到：

请注意，方程x=f(-y)一般来说是将f旋转-90度的公式。

此外，如果f是偶函数，也就是f(-x) = f(x)，那么f旋转-90度对应的是f在直线g(x) = x上的反射，因此我们得到了"逆"曲线。

如果我们将y=1/x旋转45°（逆时针），情况如何？

让我们看一下1/x的图形，注意y=0和x=0的渐近线。

使用上面的旋转公式，并做一些整理，我们可以得出y-x=2/（y+x）。

如果我们乘以x+y（假设x+y≠0），然后化简，得到y^2=x^2+2。

这条曲线如下图所示。

现在的渐近线是y=x和y=-x，这正是1/x的渐近线旋转45°的结果。

有趣的是，通过旋转函数f（x）=1/x，x>0，我们得到函数g（x）=根号（x^2+2）。它们之间似乎没有什么关系，但它们却以这种方式相关。

它们是通过旋转联系起来的！

旋转函数的图形—一个美丽的公式