【春耕園第三屆經學論壇回顧】傳統算學在學前教育（蒙學）的實踐價值
（作者簡介：葉高，自號仰止齋。寧波蒙學書院老師，專注於傳統蒙小教學實踐）
蒙學是基於華夏核心義理及歷史沉澱而形成的完整教學體系，具體到“數學”學科，自有其基於華夏文化顯著的本民族特點。然而在現代數學史的視角下，自元代以降，中國傳統數學發展就已停滯，而同時代的歐洲數學突飛猛進，乃至於影響人類文明的進程。同樣的傳統算學的訓練在蒙學段也幾近湮滅。然而事實是否如此？吳文俊院士在《中國古代數學對世界文化的偉大貢獻》中指出“近代數學之所以能發展到今天，主要是靠中國（式）的數學而非希臘（式）的數學，決定數學歷史發展進程的主要是靠中國（式）的數學而非希臘（式）的數學。”（《對中國傳統數學的再認識》）自然給到了最好的回答。
本文主要探討的是從現代認知發展研究的角度來印證傳統算學在兒童早期數學能力發展中的作用，然學力有限、實踐不足，行文匆匆，語焉不詳，僅以此文作為拋磗之作，希望有更多的有識之士能夠投身於傳統教學的當代化實踐中。並以此自勉，後期如有所得也會不斷更新與增減，希望把蒙學教學實踐的所得與更多有志於此的朋友共勉。
現代認知科學對於兒童“數量”和“數學”學習機制的主體研究，大致可分為“先天系統”和“一般學習機制”兩類。先天系統指的是通過進化形成的，可以對數量資訊進行表徵和加工的能力（Geary，1995；Spelke，2000；Wynn，1995）。一般學習機制指的是可以操作和產生算術及數學知識，但這些知識不是先天的數量知識（Newcombe，2002）。在此研究方向的引導之下，關於兒童數學學習能力所包含的相關能力和數學學科知識體系及體系內相關的知識隨經驗和個體成長是如何發生變化的研究，也就成了此類研究的重鎮，並依次發展出心理測量學研究、建構主義、新天賦主義等各學術流派，從不同的研究角度豐富了此類研究的結果。特別值得稱道的是新天賦主義的關於嬰兒具有一種對物理世界、生物世界和社會內隱的但並不充分發展的理解的結論，更是直接推動了現代歐美早期數學教育的發展。
Wynn（1992a）在其典型的實驗中，證明了嬰兒對粗略的加減法有內隱的理解，他們知道加法可以使數量增多，減法可以使數量減少。Galistel和Gelman（1992）進一步的論證人類有一種先天的前語言計數機制。在兒童具體的操作中，一種是由數量累加器的操作方法，具體是兒童有可以將表徵累加到三或四個物體、聲音或事件的機制，並將累加表徵與抽象的、內在的有關1、2、3或者4個專案的數量相比較。另一種是可以表徵各種類型數量的模擬機制。同時還啟動操作客體檔案和客體表徵機制。此兩者的區別是：客體檔案給每個物體生成一個標記（抽象量的表述），而客體表徵機制給每一個物體標記細節資訊（如體積、輪廓）。這個研究結論很好地補充了皮亞傑關於前運算期特徵的描述空白。
上述能力在先天條件和計數經驗的共同作用下（Geary，1995；R.Gelman，1990），幫助兒童在學齡前形成指導計數行為的五種概念性規則：一一對應性、順序固定性、基數性（最後一個數的值表示此專案的最終數量）、抽象性（任何物體都可以集中計數）、順序無關性。同時兒童通過觀察標準計數行為，歸納出計數的基本特點（Briars Siegler，1984；Fuson，1998），並與算術知識相結合形成解決形式算術問題的程式（PS：3+2=？）。研究表明，兒童到了4至5歲已經能夠將計算技能、數字概念與他們的內隱算術知識相協調，並解決簡單的加減法問題（Baroody Ginsburg，1986；Groen Resnick，1977；Saxe，1985；Sieglar Jenkins，1989）。兒童解決這些問題的具體策略的典型特徵是使用實物輔助計算。
上文中的相關研究結論，基本囊括了兒童對數、計數、算術認知發展的一般性研究結論，接下來我們再來看看華夏傳統數學（算學）教育是如何在上述的幾個相關項裡支持到兒童的發展的。要說清楚此中關係，首先必須要瞭解華夏數學，而要瞭解華夏數學，如吳文俊院士提出的：要真正瞭解中國的傳統數學，首先，必須撇開西方數學的先入之見，直接依據目前我們所能掌握的我國固有數學原始資料，設法分析與復原我國古時所用的思維方式和方法，才有可能認識它的真實面目（《對中國傳統數學的再認識》）。
那麼我們來談談華夏數學的一些基本特徵是如何支持到學前孩子數學能力發展的：
一、依靠算具的算學體系。根據上文的研究結論，我們基本能清楚兒童的計數及計算運行機制，兒童必須將他們文化中的數字和其他表徵系統（當下最主流的就是阿拉伯數字）對應到數量和數量模擬系統中，才能明確地使用數的知識（比如計數）（Spelke 2000）。也就是說兒童早期的數學能力發展過程中最大的攔路虎，既不是數與量的匹配，也不是加減法運算中數量模擬與客體檔案的混淆，而恰恰是數字符號本身對計算的阻礙（如低齡段孩子搞不清阿拉伯數字2為什麼在數量上就代表2）。
而這點卻能通過傳統算學的演算方式所規避，或者說中國傳統數學的基本特點恰能解決這個問題，究其原因是中國傳統數學體系是以算具為基礎的演算法型數學。中國算具依出現前後分別是算籌與算盤。兩者的外形有較大區別，然而都是利用基礎幾何（點、線段）作為計數媒介的實物工具。此類工具天然的具備數量累加器的線性排列的格式，可以讓孩子直觀且高效的進行計數的工作，並可以對指導孩子計數行為的五種概念性規則進行強化，以此完成高位數的加減運算的能力發展。
算籌表數形式
算盤
二、中國傳統數學的位置式思維。在兒童早期數學能力的發展中，將數字對應到相應數量的表徵上是一個困難的任務，因為必須適應這一目的的數量模擬系統，是用來表徵一般數量的，而不是具體數量的（Gallistel R.Gelman）。因此兒童對於較大數字所表徵的數量概念，在很大程度上依賴於他們對標準計數順序（1、2、3……）及其特殊性（比如連續數字代表只增加1）的學習。在此結論下，有學者認為“數概念似乎也與生成心理數軸的能力有關”（Dehaene，1997），也就是要將具體數字（阿拉伯數字）順序對應到數量模擬系統上。然而，使用心理數軸表徵具體數量的能力要隨著接受正式學校教育才出現（Siegler&Opfer，2003）。
這個研究結論，表明了以表音文字為基礎發展而來的現代數學符號系統對於兒童早期數學發展的阻礙作用。而漢字以形表意、形音旁位置搭配的造字原則，使其天然有形象性與位置性，位置思維在中國傳統數學的籌式演算體系中從一開始就佔據核心地位（《孫子算經》云：凡算之法，先識其位。一縱十橫,百立千僵。千、十相望,萬、百相當。），並由此興發出單一數字陣變換的算具。這種直觀、計數有序、且富有啟發性與全局性的表示方法，恰能為學前兒童精確計數提供算具保證，並為其掌握算學的全要素能力打下堅實的基礎。
漢字計數符號
三、以解決實際問題為導向，強化孩子實驗歸納的能力。中國傳統數學的研究命題一直著眼於對實際問題的解決，並以此為基礎的對現實世界中的問題給出高效的概括，從而使多類型的問題得到統一的解決。這樣的學術傾向，自然使所訓者的歸納推理得到有效的訓練。在此學風的指導下，在實際的教學中老師必然關注孩子的個體差異，孩子經歷從感性到理性、從特殊到一般、從具體到抽象的認識過程，因而歸納法及與之配套的啟發式教學就成了基本的教學方法，因材施教始終貫穿於教學，孩子也因此形成以實踐就正解的學術品格，並以此影響自身的生命品質。
同時關注實事，培養起的是孩子關注天下（社會、民族、國家）的人文情懷，興發起的是孩子對人生負責的生命態度，這點恰是基礎段教育最重要的教學目標。
四、以問題集形式的數學著作，對孩子的學術訓練的意義。中國的傳統數學有別於西方歐幾里得體系著重抽象概念與概念與概念之間的邏輯關係，與之相反的，中國傳統數學都是從現世的實際問題出發，經過分析、提煉而形成可以直接應用、方便操作的解，並進一步的以此解作為針對此類問題的計算與模型方法。同時漢字本身所具有的精准的表音、義功能，中國也就沒按實際需要發展出只針對數學的符號體系。那麼與之相配套的是中國傳統數學著作，則是以漢字為載體的問題集的形式出現。
在中國傳統數學著作的結構以“問”、“答”、“術”構成，“問”部分以具體數值得問題。“答”給出具體問題的數值答案。“術”乃是解答同一類型問題的普遍方法。三者構成一個完整的用“演算法”解決實際問題且超出此實際問題的能力。同時基於漢字所構成的文體體系，從一開始就基於孩子文本的學習能力，並一步步地發展出針對文獻的提煉、概括、興發、解決實際問題的能力，這個也是中國傳統給予學習為讀書的一個重要原因。這種體用相參，且經世致用的學術訓練，也是中國傳統教育的主軸，並形成中國傳統學術的基本特點。
參考文獻：