自然数求和周边-数列（一）

在自然数幂求和-计算量风暴（二），第八节中涉及到求已知数列的通项公式。

本期探讨数列的通项公式。

一、数列

数列在中学时是一个很重要的知识点。数列是一列有序的数，可以理解为一种特殊的函数，定义域为正整数

，值域构成数列。

当然随机出现的数字列也可以称为数列，但并非都有通项公式。

二、为了打好基础，先研究基础数列

E列等差数列，项间作差构成非0的常数列（F列，此处为公差d=2）。

通项公式为：

。

I列等比数列，项间1次作差(J列)，2次作差(K列)所得和原数列相同。作商构成非1的常数列。（L列，此处为公比q=2）。

通项公式为：

。

三、高阶等差数列

举例一：

P列数列，经过2次作差构成非0的常数列（R列，此处为公差

）。

Q列为等差数列，通项公式为

。

P列为二阶等差数列，

。于是：

一般地：

二阶等差数列的通项公式是关于n的最高次幂为2的多项式，最高次幂的系数为

。

举例二：

U列数列，经过3次作差构成非0的常数列（X列，此处为公差

）。

W列为等差数列，通项公式为

。

V列为二阶等差数列，

。于是：

U列为三阶等差数列，

。于是：

一般地：

其中：

，

为所求数列的第一项，

为一阶差数列的第一项，

，

为二阶差数列的第一项，

，

为三阶差数列的第一项，三阶差数列为常数数列，

。

注意分辨二阶差数列和二阶等差数列，准确理解两个词的含义。

三阶等差数列的通项公式是关于n的3次多项式，最高次幂的系数为

。

一般地：若已知或判定数列

为k阶等差数列，其通项公式是关于n的k次多项式。计算其通项公式，可利用待定系数法求解。最高次幂系数为

。其中

为数列

的k阶差数列，为非0常数数列，

。