因式分解（10）

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待定系数法对于一元四次多项式的分解是有奇效的。

贼老师

一般来说，对初中生而言，一元四次多项式的分解是很困难的。为什么？

因为从方程的角度来说，一元四次方程是我们能用求根公式解方程的极限。

事实上，对于多项式方程来说，求根就是个因式分解的过程。

一元二次方程的求根就是十字相乘法，或者用配方法来解决；

一元三次方程的求根就麻烦多了，公众号的空白太少我写不下；

而一元四次方程的求根公式简直要烦死了——你看了之后估计是不会想用这个方法来求根的。

理论上，所有的一元四次多项式在实系数范围内都是可以因式分解的——但是整系数范围内就够呛了。

所以，能够用来做因式分解练习的一元四次多项式其实已经是难度大大降低了的。

尽管如此，还是很麻烦。

麻烦的根源在哪里？

因为四次多项式可以分解成四个一次式，两个一次式一个二次式，以及两个二次式的形式。换句话说，拆的方向就有三个。

而每个方向，又要考虑公因式可能的形状，所以一个题目用配方法来做，没准真的黄花菜都要凉了。

但是我们有待定系数法，这就不一样了。

贼老师

上次讲的那个四次多项式的例子，还是属于很容易看出配方的。今天这个就没那么容易了：

例1

有兴趣的家长可以用配方法来试试看，并不是那么容易的哦。因为各项系数和不等于0，而且奇次项系数和与偶次项系数和不相等，

所以公因式就应该是二次式了，那就很难猜了。

然而我们有待定系数法！

贼老师

我们可以假设分解成：

（当然也可以设成：

只是做不出来罢了）

展开得到：

对比系数，我们当然对比次数低的三次项和一次项啦！可以得到a-1,b=-2，再回代到二次项系数里去，看看是否成立。如果得到的二次项还能继续用十字相乘，那就再来一轮，直到不能分解为止。

再来看一个：

例2

来，待定系数一下？

贼老师

我们发现这个……好难啊

贼老师

原因在于首尾的系数48和18有太多种的组合了。

敲黑板划重点

所以，待定系数法对于一元四次多项式的要求就是：

1.首尾系数尽可能简单，要么是1，要么是质数；

2.分解要完全，要注意检查二次项是否还能继续往下分解。

做到这两点，对于四次多项式的分解，妈妈就再也不用担心了哦~

我们不妨再回忆一下之前的

如果首尾系数因数较多的话，不妨试试这个，也就是提取出个x的平方后，把二四项配对，首尾配对，第三项？那已经是常数啦。。。

两种方法结合起来，初中范围内的一元四次多项式的因式分解，你就可以横着走了。

下一期讲待定系数的终极应用，会有一定难度，胆小者可忽略。。。

贼老师

下课！

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