学会这道题，你会发现平时做的题可能都是小菜一碟

如图，自△ABC的外接圆弧BC上的任一点M，作MD⊥BC于D，P是AM上一点，作PE⊥AC，PF⊥AB，PG⊥BC，E、F、G分别在AC、AB、AD上，证明：E、F、G三点共线；

证明三点共线，要么角互补，要么比例线段成立（也就是相似），那么先连线吧，

如图，将EG、FG、BM、CM都连起来，然后标记PG和BC的交点为H，PF与BC交点为Q，PE与BC交点为N，

先不要管连接这些线都有什么用，因为后面都会用到，所以先全部连接，再逐步去深入，

如果能得到AG：AD=AP：AM=AE：AC=AF：AB，那么就成立了，但是这个条件不足貌似行不通，所以只能换另一条路，利用角互补，

而∠FGP和∠EGP要互补，肯定要分别转换成别的角，而图中能够互补的角，明显的有∠BAC和∠BMC，∠ABM和∠ACM，

所以很有可能就需要将角转换为以上两组中的一组，

至于会转换为哪一组，目前不得而知，

但是可以根据一些稍微明显的线索去推断优先权，

要转换那两个角，△FGP和△EGP无疑需要和别的三角形相似，当然会有同学有疑问：为什么不是用角的度数之间的转换？首先这里除了90°，没有其他度数，而且没有直径，所以找不到一个可以依赖的角，那么就很难行得通，当然或许是我们还没有发现这条路的终点。

那么既然要相似，就要先根据图形去观察一下，能够互补的那两组角分别所在的三角形，是否和△FGP与△EGP可能相似，

只要图形规范，会发现△ABM和△ACM是最有可能的，毕竟形状都长得特别像，

那么要相似的话，两组角对应相等肯定是行不通了，所以只可能利用两边夹一角来得到相似，由于题中已经给出了DM和GP两条平行线，所以大概可以确定走比例线段的路线来证相似，

那么基本就可以确定方向了，剩下的就是如何达到终点站：

好，那么全部准备工作做好之后就可以开始分析了，

∠HPN=∠ACB、∠HPQ=∠ABC（很容易得到，具体不多解释了），

由于∠AMB=∠ACB，

所以∠AMB=∠HPN，

同理得到∠AMC=∠HPQ，

由于GP//DM，

所以得到∠APG=∠AMD，

由此得到∠APE=∠DMB，

又∠MBC=∠MAC，

所以△BDM∽△AEP，

所以AP：BM=PE：DM

同时由于PG：DM=AP：AM，

所以AP·DM=BM·PE=PG·AM

所以PG：BM=PE：AM，

两组线段成比例，而且夹角∠AMB=∠GPE，

所以△ABM∽△EGP，

所以∠PGE=∠ABM，

那么同样的方法可以得到∠PGF=∠ACM，

而∠ABM+∠ACM刚好是180°，

因此∠PGF+∠PGE=180°，

那么F、G、E三点共线成立；

这道题转换的过程有点复杂，所以同学们分析的时候特别的认真，否则很容易自己将自己搞迷糊。