黄金分割和白银分割及其在建筑学中的应用(修订)

对关于作者蒋迅

蒋迅, 本科和硕士毕业于北京师范大学, 在美国马里兰大学获得博士学位. 目前在美国从事科学计算工作. 曾应北京师范大学张英伯教授邀请. 在科学网开办了关于数学文化的个人博客 (blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=420554). 与王淑红著《数学都知道1,2,3》.

✪ 对文中佩尔数的定义式进行了改正.

1. 引言

“遇见数学”公众号之前翻译了一段 YouTube 上的视频“认识黄金比例、白银比例等贵金属比例”。

这个英语视频讲的很出色，加上中文字幕后应该很容易看懂。黄金分割在自然界有很多实际例子，但白银分割在自然界似乎很难找到它的踪影。黄金分割在艺术创作和建筑设计上有很多例子，其实白银分割在建筑设计上也有一些例子。特别奇妙的是，黄金分割多由西方人使用，而白银分割则由东方人使用。我们今天就在本文中谈一下这个问题。

2. 从黄金分割率到白银分割率

让我们先介绍一下黄金分割和白银分割。我们知道，黄金分割率是两个数值 和 的一个比例数值，记作 ，如果 。容易看出， 满足代数方程

这个方程的正解是 。有的时候，我们也把黄金分割率称为黄金比例。在下面的讨论中我们将不区分分割率和比例数。从几何上，我们可以理解黄金分割是将一个边长为 和 的矩形，从中分割出一个边长为 的正方形和一个边长为 和 的矩形。而这个矩形的长宽之比与大矩形的长宽之比完全相等，而且我们可以这样无限地分割下去。

按照这个思想，我们考虑长宽分别为 和 的矩形。假定当我们从其中切割出两个边长为 的正方形后，所得的矩形的长宽 和 的比正好与大矩形的长宽比相等。这个比值 就称为白银分割率（或白银比例，silver ratio），记作 。于是我们有 。容易得到 所满足的代数方程为

这个方程有两个实数解。它的正解为 。

黄金分割率可以写成一个连分数：

相应地，白银分割也可以写成一个连分数：

黄金分割率与斐波那契数列 有着密切关系，这里 满足：, , , 。

如果我们使用黄金分割率来表达 的话，就有

反之，黄金分割率可以用斐波那契数列的下列极限得到：

我们当然预期白银分割率也有类似的性质。事实上，与白银分割率相关的是佩尔数列 （Pell numbers）。这个数列也是由递推关系定义的：, , ⋯,   佩尔数列的通项可以写成

它的前五项是：1, 2, 5, 12 和 29。类似地，白银分割率可以用佩尔数列的下列极限得到：

黄金分割率出现在正五边形上。假定一个正五边形的边长为 ，对角线长为 ，那么 。

相应地，白银分割率则出现在正八边形里。在一个正八边形里有三类对角线：短对角线、中对角线和长对角线。设正八边形的边长为 ，中对角线的长为 ，那么 。

3. 黄金分割和白银分割的应用

黄金分割的应用有很多很多，在大自然中和艺术创作中都有很好的体现。那么我们自然地会想到那么白银分割有什么实际意义呢？遗憾的是，我们没有看到白银分割率在大自然中出现。这也从另一方面说明大自然是多么钟爱黄金分割。

在这一节里，我们简单谈一谈建筑与黄金分割和白银分割的联系。我们将会看到这是东西方文化中应用黄金分割与白银分割的一个重要差别。

在西方，甚至在古埃及、古希腊和印度等地，黄金分割的使用是比较明显的。我们可以说，那时候人们就在自觉地采用这个比例。达·芬奇和卢卡·帕乔利共同完成的《神圣比例》一书中专门讨论了比例在建筑、艺术、解剖学和数学中的作用。黄金分割的选择除了它的美感外，也在于它的简单。我们常说简约之美，揭示了二者的关系。这个过程可以从下图表达出来：

▲ 黄金分割的简约之美

在没有现代测量手段的古代，这样简单的方法方便了人们在建筑中掌控尺寸。所以黄金分割出现在建筑中也就不足为奇了。下面我们来欣赏一些具有黄金分割比的建筑。

▲ 埃及胡夫金字塔

埃及胡夫金字塔建于公元前 2560 年前后。人们在其结构中不仅发现了黄金分割比，还发现了圆周率和勾股定理。这与我们上面介绍的黄金分割比的作图不谋而合。现在研究人员无法找到确凿的证据说明古埃及人自觉运用了黄金分割比。但人们在更多的埃及金字塔中也发现了这个比率。这很难说是巧合吧。

▲ 帕特农神庙

古希腊建筑设计使用黄金分割来展现一种令人舒适的长宽之比。建于公元前 447 至 438 年的帕特农神庙（Parthenon）是一个典型的例子。古希腊人大约是在公元前 300 年认识到黄金分割的。这个数字记录在阿基米德的《原本》一书中。我们无法确认古希腊人是否有意识地采用了这个比例，但通过对图片的划分，我们应该能够找到很多黄金比例。

▲ 巴黎聖母院

巴黎聖母院（Notre-Dame de Paris）约建造于 1163 年到 1250 年间。根据哥德式建筑方面研究的专家弗雷德里克·麦克迪·隆德（Frederik Macody Lund）的研究发现，它在几个最重要的设计比例中用到了黄金分割比。

类似的例子还有印度泰姬陵，突尼斯凯鲁万大清真寺（The Great Mosque of Kairouan），印度尼西亚的婆罗浮屠佛塔（Stupa of Borobudur），加拿大多伦多电视塔，上海的东方明珠广播电视塔等。也有人认为故宫里也有黄金分割比，但似乎这个说法有些勉强。

再来看白银分割。

人类对白银分割并不乏爱。我们先来看国际间最常使用的 ISO 纸张尺寸。其中的 A4 中就包含着白银分割率。A4 纸的长宽比例是   :1（精确地说是 297.25:210.25 = 1.413793103）。这个比例的矩形也叫作“A4 矩形”。

▲ A4 矩形

从 A4 纸中剪去一个最大的正方形后，我们得到一个长宽比为 1: -1= +1:1 的矩形。注意白银分割率出现了。我们把具有白银分割率的矩形叫作“白银矩形”。

▲ 从 A4 矩形中切除一个最大正方形

因为 ，我们可以把上图右边的白银矩形转动 ，并把宽扩大到 ，同时按同样比例把长扩大到 。

▲ 白银矩形

从这个白银矩形中剪掉一个最大正方形后，我们又得到一个具有长宽比为 的 A4 矩形。这个过程无限继续下去，我们就交替得到 A4 矩形和白银矩形。不知道是不是因为这个原因，也有人把 称作白银分割率。（事实上，所有的 A 系列纸的长宽都具有这个比例。）

为了区别前面的白银分割率 ，西方有时也把 叫作日本分割率。这来自于他们对日本文化中对这个比例的了解。其实这个名字不太合适，因为在中国和韩国，人们也早就对这个数字情有厚爱。德国哲学家和实验心理学家费希纳（Gustav Theodor Fechner，1801－1887）曾经做过一个统计实验，看不同文化背景的人们对矩形长宽比例的爱好。他发现在西方，人们更喜欢 1.618:1。韩国人做了一个相应的实验并发现韩国人更喜欢 1.414:1。定林寺（Chongnimsa）和感恩寺（Kamunsa）中的佛塔的设计中就使用了 比例。韩国人的研究还发现，这个结果是由于朝鲜民族受到了来自中国的佛教的影响以及九章算术和周髀算经的传入。

▲ 山西佛光寺文殊殿（来源：王南）

中国早在五千多年前的红山文化时期就有了使用勾股数的痕迹。清华大学的王贵祥对中国古代建筑专门做了研究。他著有《中国古代木结构建筑比例与尺度研究》，分析了    在中国古建筑中的重要地位。他发现具有这个比例的建筑有：山西南禅寺大殿、河北阁院寺大殿、天津独乐寺山门、山西榆次雨花宫、浙江报国寺大殿、辽宁奉国寺大殿、山西晋祠圣母殿副阶、河北广济寺三大士殿、河北开善寺大殿、河北隆兴寺牟尼殿副阶、河北牟尼殿龟头殿、山西应县木塔副阶、山西青莲寺中殿、山西佛光寺文殊殿、山西崇福寺弥陀殿、山西善化寺三圣殿、山西晋祠献殿、山西平遥文庙大成殿、山西普贤阁上层外檐和山西应县木塔四层外檐的檐高与柱高的关系，在 1.41（ ）上下浮动。以佛光寺为例，以佛光寺大殿的总高为边长做一个正方形，再以它的对角线做一个弧线，刚好是它总宽的一半。清华另一位大学的老师王南一句话说出了其根源：“所谓的黄金分割是西方建筑美的密码，它造成了帕提农神庙一种永恒的和谐；中国古人则用天圆地方的这种观念来建造出佛光寺大殿这样的建筑，同样达到了和谐完美的境地。”相信在中国的庙宇建筑中应该有很多    的比例吧。因此，我们认为把    称为东方分割率更为合适。

▲ 日本奈良法隆寺中的金堂和五重塔（来源：板原村）