圆锥曲线专题解析3焦点弦问题变式训练答案

圆锥曲线专题解析3:焦点弦问题变式训练答案

变式训练1

见解析

(1)由

,得

,

∵直线

与

轴垂直,∴

,

由

,解得:

或

,

当点

坐标为

,则点

坐标为

,

此时直线

的斜率为

,

∴直线

的方程为

,即

;

当点

坐标为

,则点

坐标为

,

此时直线

的斜率为

,

∴直线

的方程为

,即

.

故直线

的方程为

或

.

(2)当

直线方程为

时,直线

与

轴重合,不满足题意;

故可设直线

的方程为

,

由

,得

,即

,

设

,

,

由根与系数关系可得,

,

,

∵

的中点

,点

,

∴

,

,

∵

.

∴

,

故

,

,

三点共线,

所以直线

经过线段

的中点.

变式训练2

见解析

(1)由椭圆方程得,椭圆的右焦点为

,

∴抛物线的焦点为

,

∴

,

∴抛物线的标准方程为

.

(2)①当动弦

所在直线的斜率不存在时,易得:

,

,

.

②当动弦

所在直线的斜率存在时,易知

的斜率不为

.

设

所在直线方程为

,且

,

.

联立方程:

,得

,

∴

,

,

,

∴

.

∵

所在的直线方程为

,联立方程

,得点

,

∴

,

∴

,

综上所述:

的最小值为

.

变式训练3

(1)

(2)

或

(1)由题意得

,设

的方程为

(

).

设

,

,

由

得

.

,故

.

所以

.

由题设知

,解得

(舍去),

.

因此

的方程为

.

(2)由(1)得

的中点坐标为

,所以

的垂直平分线方程为

,即

.

设所求圆的圆心

的坐标为

,则圆心

到直线

的距离为

,

所以

解得

或

.

因此所求圆的方程为

或

.

变式训练4

见解析

(1)设

中点为

,

到准线的距离为

,

到准线的距离为

,

到准线的距离为

,则

,

由抛物线的定义可知,

,

,

所以

,

由梯形中位线可得

,

所以

,而

,

所以

,可得

,

所以抛物线

.

(2)设

,

,

由

得

,则

.

所以直线

的方程为

,直线

的方程为

,

联立得

,

,即

,

的交点坐标为

,

因为

过焦点

,所以设直线

的方程为

,

将其代入抛物线

中得

,所以

,

所以

,

所以

,

的交点在定直线

上.

变式训练5

见解析

(1)根据题意知,

①,

因为

,所以

②,

联立①②解得

,

.

所以抛物线

的方程为

.

(2)四边形

存在外接圆.

设直线

方程为

,代入

中,得

,

设点

,

,则

,

且

,

,

所以

,

因为

,即

,所以

.

因此,切线

的斜率为

,切线

的斜率为

,

由于

,所以

,即△

是直角三角形,

所以△

的外接圆的圆心为线段

的中点,线段

是圆的直径,

所以点

一定在△

的外接圆上,即四边形

存在外接圆.

又因为

,所以当

时,线段

最短,最短长度为

,

此时圆的面积最小,最小面积为

.