一题多思：一道几何填空压轴题引发的思考，逐步探究求线段长

思考求EF长度，无非构造直角三角形勾股定理，要么构造相似利用相似比求解。我们先看看已知条件能得出什么结论：

首先开始常规思路，就是利用已知条件证全等，目的证出∠BGE=60°，∠EGC=30°;

下一步偶尔可以偷个懒，毕竟填空题可以利用四点共圆，找到特殊角，这样更便于求解，当然说秒杀也不过分，但部分底部不强调四点共圆，或者用此方法做证明题没有分，稍后会有其它方法；

接下来就是解三角形了，有特殊角构造直角三角形即可建立关系，一定要用上AG=3，就这么一个数据，不用如何能求出解？

上面是勾股定理表示关系结合子母型相似即可求解，下面是先建立相似找关系然后结合勾股定理求解，不管怎么做，目的求出EC或CF即可表示EF。

如果不用四点共圆，我又想到一个办法，大家可以看一下：

仍然是全等建立关系，关系建立完之后不要慌，还需继续找内在关系，我们常用的构造即将登场；

利用30°继续构造直角三角形，证明出相似求出相似比，这样想表示那条线段都可以，当然我们也可以表示出BC，从而得出CE,CF的长度，应为BE:CE=1:2的，再利用上面的三角函数关系即可证出∠FEC=90°，求解也很方便。当然我们也可以过点E作BG边上的高，结合全等表示线段长度，用勾股定理求出EF的长，就不用三角函数证垂直了。

掌握类似构造方法可以尝试求解下面几道题：这些题在文章或者视频中都分享过

1.求面积的比值

2.求线段长，仅限八年级上全等解法，不用勾股

3.八年级上全等解法，前2问可利用上面方法求解。

整理不易，大家多支持，数学文章和题很难有阅读量，但贵在坚持，希望对大家有帮助。本人乡村老师，能力有限，有不足之处大家多提宝贵意见，多提供好的思路！