中考数学：几何压轴题（圆）

今天这道题，挺有意思的，尤其后面两问，没有一定能力的同学估计是解不出来的，后来搜了一下试卷，发现这道题居然只是A卷的最后一道题，后面还有一面B卷，看来人家那边的中考数学确实要比本省难度多得多，所以今天给同学们分享一下。

图中的辅助线是老师在解题过程中加上的，原本是没有虚线部分的。

（1）证明切线的时候，首先要想到连接圆心和切点，所以连接OD，只要OD⊥DH就行了，因为AB=AC，

∴∠B=∠C，

又OD=OB，

∴∠B=∠ODB=∠C，

∵∠C+∠HDC=90°，

∴∠ODB+∠HDC=90°，

∴∠ODH=90°，

∴切线成立

（2）线段的比例，估计会有很多同学头疼，压根就没有线段的长度，怎么找比例呢？不得不说，每次遇到四川的题，都感觉这出题人确实太高明了。

根据圆的性质，可知∠E=∠B，所以∠E=∠C，因此DE=DC，

又DH⊥AC，∴EH=HC，等腰三角形三线合一嘛，

那么A是中点，也就是说EC=4EA，那么我们可以设EA=x，则EC=4x，AC=3x，

连AD，同理AB=AC，AD⊥BC，可得D是BC中点，

所以OD是△BAC的中位线，所以OD=0.5AC，

然后我们利用OD和AC平行，得到△EFA和△DFO相似，

所以EF：FD=EA：OD，那么EA和OD都能用x来表示，所以比值就不用多说了吧。

（3）这一问不得不说，如果是程度一般的同学，包括数学每次上不了115分的同学来说，很大可能是解不出来的，重点并不是大家想不出来，而是看同学们敢不敢往下思考。

EA=EF时，我们知道，△EFA和△BDF是相似的，而且都等腰，所以就有EF·FD=AF·BF，但是AF和DF、BF都是未知的，怎么解呢？设未知数的话，一个肯定不够吧？所以很多同学估计会在这里不敢往下思考了，毕竟多个未知数的话，计算量就又增大了。老师计算到这里的时候也差点怀疑是不是方法错了，但是很明显题中可以找到两种等量关系，二元方程是一定能解出来的。所以继续，

那我们究竟设哪个未知数呢？既然题中是问半径的，我们就设半径为r，那么BA=2r，OD=r，这里我们需要知道DE和BD、DC是相等的，这一点相信同学们不难发现，所以BD=DE=BF，那么我们再假设FA=x，则BF=2r-x，DF=DE-EF=2r-x-1，

所以EF·DF=2r-x-1，而AF·BF=x（2r-x），那么2r-x-1=x(2r

-x),暂且标记这一行为①

我们知道OD//AC，所以AF：OF=EA：OD，即x：(r-x)=1：r，所以xr=r-x，转化一下，x=r/(r+1)，将x代入到①行的等式中，解得r即可。这是最直接的方法，所以计算上涉及了两个未知数。

而如果大家能够思考到更深层次上的话，由OD//AC不难发现，∠AOD=∠OAE=∠OFD，所以OD=DF，也就是说DF等于半径，同时由于BF=DE，而且二者都是半径+一个线段，所以加上的线段是相等的，也就是OF=EF=1，那么这下就更方便了，△BFD和△DOF相似吧？所以DF：BF=OF：DF，也就是DF²=BF·OF，即r²=(r+1)·1=r+1，解方程就行了。

以上两种方法对应两种不同的思维能力，至于第二种方法，如果没有写过这道题，估计很难想得那么深层次，而第一种方法，牵涉到两个未知数，会有多数同学止步。

因此，不论同学们能够利用哪一种方法解出来，都是值得称赞的。