哥尼斯堡七桥问题：你能一次不重复地走遍哥尼斯堡的七座桥吗？有人觉得数学是信仰，In math we believe!但是有人发觉数学是从提问开始，从猜想开始的，这个很有意思，与物理不太一样。1900年，伟大的数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert）在巴黎的国际数学家大会上提出了23个未解决的重要数学问题。这些问题中有些在随后很短的时间内就得到解决，但有的问题却异常复杂，影响贯穿整个20世纪的数学研究，穷尽数学家一个世纪的努力都没有被解决，黎曼猜想就在其中。2000年，美国克雷数学研究所公布了一个包含7个尚未被解决的数学问题的“千禧年大奖难题”清单，成功解决其中任何一个问题的数学家都将获得100万美元的奖金。但是，迄今为止，7个问题中只有庞加莱猜想在2003年被俄罗斯数学家格里高利·佩雷尔曼（Grigori Perelman）解决，他也因此在2006年获得了菲尔兹奖。其余6个问题目前仍悬而未决。即使使用非常简化的语言来描述，黎曼猜想对没有一定数学基础的读者来说仍然不易理解。但是从这个猜想两次被列入“世纪难题”的范畴却仍然是“猜想”的事实，就不难想到它对数学家提出的挑战有多么严峻。不过，虽然黎曼猜想并没有被证明，却不妨碍数学家使用黎曼的发现。目前已经有超过1000个数学命题是以黎曼猜想或者它的推广形式为基础，也就是说数学家在提出这些命题的时候，已经假定黎曼猜想成立。由此可见，黎曼猜想的证明也将最终夯实这些命题存在的根基。美国麻州的克雷（Clay）数学研究所于2000年5月24日在巴黎法兰西学院宣布了一件被媒体炒得火热的大事：对七个“千年数学难题”的每一个悬赏一百万美元。其中有一个已被解决(庞加莱猜想),还剩六个（注:黎曼猜想仍有争议）.（庞加莱猜想，已由俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼破解。我国中山大学朱熹平教授和旅美数学家、清华大学兼职教授曹怀东做了证明的封顶工作。）“千年大奖问题”公布以来， 在世界数学界产生了强烈反响。这些问题都是关于数学基本理论的，但这些问题的解决将对数学理论的发展和应用的深化产生巨大推动。认识和研究“千年大奖问题”已成为世界数学界的热点。不少国家的数学家正在组织联合攻关。可以预期， “千年大奖问题” 将会改变新世纪数学发展的历史进程。那么，这些千年大奖难题分别是什么呢？1P问题对NP问题（P versus NP）在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。晚会主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现晚会主人是正确的。然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是，如果某人告诉你，数13717421可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因式分解为３６０７乘上３８０３，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。人们发现，所有的完全多项式非确定性问题，都可以转换为一类叫做满足性问题的逻辑运算问题。（注：非确定性问题是指：问题的答案无法直接计算得到，只能通过“猜算”来得到结果，“猜算”的过程是不确定的。对于这类问题，我们可以给出一个算法，这个算法不能直接告诉你答案是什么，但可以验证某个可能的结果是否正确。如果这个算法可以在多项式时间内算出来，就叫做多项式非确定性问题。而如果这个问题的所有可能答案，都可以在多项式时间内进行正确与否的验算，就叫完全多项式非确定问题。）既然这类问题的所有可能答案，都可以在多项式时间内计算，人们于是就猜想，是否这类问题，存在一个确定性算法，可以在多项式时间内，直接算出或是搜寻出正确的答案呢？这就是著名的NP=P？的猜想。不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克于１９７１年陈述的。2霍奇(Hodge)猜想二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导致一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。3庞加莱(Poincare)猜想如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。
