周六压轴题-中考数学：二次函数三角形存在性（直线垂直法）

今天这道题本来是两种方法，但是只给出一种情况的过程，利用直线垂直时比例系数关系解决等腰三角形问题，另一种是同学们都会的勾股定理方法不再具体给出过程。

（1）第一问，点B代入直线解析式得到m的值，

三个坐标点已知，那么解析式可以搞定了，

为了方便第二问，老师直接给出结果y=-x²+4x+5，

（2）两个小问，

①线段比例关系，假设点P的横坐标为x，那么P（x，-x²+4x+5），

E（x，x+1），D（x，0），

所以PE=|-x²+4x+5-x-1|=|-x²+3x+4|=|x²-3x-4|，

DE=|x+1|，

而PE=2ED，

则|x²-3x-4|=2|x+1|，

去绝对值，得到两种方程式，

分别解方程可得x=-1、2、6三种，但是P不与A重合，所以-1舍去，

那么点P的横坐标就是2或6，同学们自己求纵坐标吧；

②又到了这种直接写出答案的时刻，每次只要是直接写出答案的，估计都要耗费不少时间去解答，所以只要看到“直接写出”就要有心理准备。

由于等腰三角形会有三种情况，而且过程比较啰嗦，所以同学们可以了解一下高中的直线垂直关系，假设直线y=ax+b与直线y=mx+n垂直，那么a和m是存在一定的关系的，即a·m=-1,该结论可以通过三角函数来推导，具体过程不给同学们介绍了，该方法特别适合这种直接写结果的题目。

而直线解析式的x的系数，可以通过直线上两个点的坐标直接获得，例如若点A（a，b）、B（m，n）在直线y=kx+t上，则k=（n-b）/(m-a)，推导方法很简单，有兴趣的同学可以自己试试。

今天就只使用这种方法了，另一种方法不再具体说明。

第一种情况，BE=BC，

同学们注意看图，老师已经用红色字母重新标注，我们过点B向CE作垂线交CE与F，交x轴于点G，

我们假设点P的横坐标为x，那么点E的横坐标也为x，E（x，x+1），D（x,0），而点C（5，0），则点F的坐标可以表示出来，

所以我们假设直线CE的直线解析式为y=kx+b，则

然后我们再假设直线BF的解析式为y=mx+n，则

根据前面的条件点E和点F的坐标都能用x来表示，所以可以解方程得到x的值，也就是点P的横坐标，那么纵坐标也就不是问题了；那么解出来的方程的解当然有两个，why？

点E既然能在B的左侧，那么肯定也能在B的右侧，所以第二种情况就是点E在B的右侧，所以能够得到两个P的坐标，也就是自动出现了第二种情况；

那么第三种情况就是BC=EC；

第四种情况为BE=CE；

每一种方法都可以用垂直直线的比例系数的乘积为-1来求解，

当然也可以用勾股定理去搞定。

假设处点P的横坐标为x，分别表示出三角形三条边的长度（即两坐标点之间的距离表示，相信能够做到压轴题这个程度的同学都知道），

然后分别利用线段相等解方程。

不管用哪一种方法，计算都是需要有一些的，老师不太喜欢用勾股定理列出一大堆的代数式，所以就不给出勾股定理求解的方法了，同学们需要的话自行研究吧。

今天这道题并没有太大的难度，只要情况讨论不要落下任何一种，基本上都能做出来的。操作熟练的话，大概5-10分钟就可以把这道题所有的答案全部解出来。

如果哪位有兴趣给同学们完善其他情况或勾股定理方法，请在留言区给出，谢谢！