挑战压轴题：中考数学-二次函数-等腰三角形的存在性（2018.04.28）

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c经过A（-2,0）、B（4,0）、C（0,3）三点，

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在y轴上是否存在点M，使△ACM为等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点P（t，0）为线段AB上一动点（不与A、B重合），过点P作y轴的平行线，记该直线右侧与△ABC围成的图形面积为S，试确定S与t的函数关系式；

看过题后会发现，该题是一道常见类型的压轴题，点的存在性。

（1）第一问送分，不会的同学就不用往下看了；

（2）点M是在y轴上，但没有说是在正半轴还是负半轴，所有有好多可能性，那么根据等腰△ACM，可以判定存在这几种情况：

①AC=CM，此时的点M可能在C的上方，也可能在C的下方；

②MA=MC，此时的点M只能在C的下方；

③MA=AC，此时的点M也只能在C的下方；

所以一共四种情况，第①、③情况直接利用AC的长度就能找到点M的坐标；

只有第②种情况MA=MC，也就是M在AC的垂直平分线上，怎么找AC的垂直平分线呢？如果不会用直线垂直斜率关系，那么只能利用三角函数来求解；

如图过AC的中点作垂直平分线MN，交x轴于点N，那么根据∠BAC的余弦值可以求出点N的坐标，而同时AC中点的坐标也没问题，那么直线MN的解析式就可以得到，从而找到直线MN与y轴的交点M的坐标即可；

（3）这一问明显是一个分段函数，点P在O左侧的时候，面积S只能用△ABC的面积-直线左侧三角形的面积；点P在O右侧的时候，面积S就是直线右侧的三角形面积；

所以要根据t的取值范围来分段，

当-2＜t＜0时，用t与∠BAC的三角函数来计算出三角形的底和高，然后表示出面积，用△ABC的面积-该三角形的面积=S即可；

当0≤t＜4时，就改用∠ABC的三角函数了，表示出PB的长度，和三角形的高，然后表示出面积=S即可；

题目不是很难，所以方法提供给同学们了，如果掌握不了那就是自己的能力问题了，加油吧！