观点||联动、生动：儿童理解规律的通道
这周的“周二见”，【对特级教师的课堂“说三道四”？这个群里的年轻教师还真的敢！| 关注】 我上的是商的变化规律。上完后，照例是交流。大家对三条规律合并成一条规律教学觉得非常神奇
我觉得，我有必要发一下2017年的这篇文章，算是表达一下课后的个人观点。
“商的变化规律”是人教版数学四年级上册的内容（图 1），引导学生通过计算和观察，依次发现三条规律。在教学中，教师们常有这样的感觉：举例、比较、依次发现规律不难，但是散状的三条规律放在一起后，学生的思维就混乱了。遇到“被除数乘4，除数乘2，商（）”这样灵活的应用题，更是一头雾水。因此，不少教师提出此例可分2课时教学，如果三条规律一次性教学，学生连“商不变性质”都会掌握得不理想
。
但是，商的变化规律，毕竟有积的变化规律做铺垫，学生对于通过举例、比较，发现式子之间的联系已经有一定的经验。如果借助动态关联、生动描述、动作演示这些直观生动的教学手段让这三条规律联动、生动起来，学生能否更好地掌握商变化的规律？笔者由此展开了课堂教学和后续探究作业的思考与实践。
课堂实践
1.联系旧知，以“回顾”助“表达”
“激活学生原有的知识经验”是老生常谈的话题。然而，为了使整节课看起来新颖大胆，很多教学设计还是放弃了“复习旧知”环节。但是，商的变化规律的学习是有必要联系旧知的，因为学生可以从积的变化规律中汲取本课学习所需要的“知识经验”。就知识角度而言，联系旧知后，学生的言语表达系统迅速被激活，“一个不变”“乘几”“或”“除以几”等数学语言在脑海里又会鲜活起来，避免再走一遍比较发现规律时对学生表述“去掉了一个0”之类语言矫正的老路，使得学生能在比较好的语言表达系统里表述自己的新发现。从经验角度来看，举例、作比较的探究经验也可以顺利迁移到商的变化规律，使学生能在研究之前就触摸到比较清晰的探究路径。
师：趁老师在做课前准备，你们看一下数学书第51页。
（铃响后）
师：第51页讲的是什么？
生：是积的变化规律。一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘几或除以几。
师：当初咱们是怎么研究出积的变化规律的？（板书：积的变化规律）
生：写很多算式，举例，然后比一比。
师：好记性。就是通过写算式、举例、作比较，就发现了这个结论。今天，我们要一起去研究商的变化规律（板书中擦去“积”，改成“商”）。你们说说看，怎样才有“商”呢？
生：除数乘除数等于商。
生：不对，是被除数除以除数等于商。
师：一起完整地说一下。（板书：被除数÷除数=商）
生：被除数除以除数等于商。
师：你们觉得商的变化规律会和什么有关？
生：会和被除数有关。
生：和被除数、除数都有关。
师：咱们怎么去研究呢？
生：也举例，写一些式子，然后比较。
师：你们的想法很好。商的变化和被除数的变化有关，也和除数的变化有关，，咱们一类一类来研究好吗？先来研究被除数的变化会引起商怎样的变化。（板书：除数不变）
联系旧知，先让学生在课前进行知识上的“课前准备”，再通过提问的方式来回顾“商”是怎么来的。对于成人视角里简单的旧知，学生照样会出错，因为这些描述规律性的语言对于他们还是过于抽 象。如果不把学生原来的知识经验激活，规律探究的起始阶段将会陷入“看似简单、表述艰难”的境地。
2.任务联动，从“看见”到“发现”
“商的变化规律”的发现离不开举例。教师一般会呈现一组例子，让学生观察发现被除数、除数、商的变化情况，并尝试用语言归纳。但是，当教师呈现了一组例子，学生往往只能描述“看见”的变化。比如，对于60÷12=5，600÷12=50，6000÷12=500，学生会说“60变成了600，5变成了50”，只有极少数学生能感知并描述具体的数据变化及其联系。当然，这时教师略作引导，学生也能大致完成表述。表述之后，教师一般直接脱离具体数据，改用“除数不变，被除数乘10，商也乘10”提炼规律。从“看见”到“发现”，能否缓一缓，让学生多联系、多感悟，在问题驱动下自己发现规律？笔者尝试了以下环节。
师：我和很多小朋友一样，只看见了60、600、6000这些数，你们是怎么看到它们之间的联系的呢？
生：（指图说明）这个被除数是60，这个被除数是600，乘了10，然后商也是乘了10。从60到6000是乘了100，然后商也是乘了100。
师：画箭头有什么用处？
生：这样就能看清楚每个数都是怎么变的了。
师：哦，以60÷12为标准，一个数一个数对应着看，咱们不光能看见式子，还能发现其中的联系。现在再给你一个式子（ ）÷（ ）=25，你能马上知道括号里面应该填几吗？
生：300÷12=25。
师：你是怎么想的？
生：第一个算式的商是5，这道题的商是25，扩大了5倍，被除数也应该扩大5倍。
生：除数不变，还是12。商原来是5，现在是25，乘了5，那么被除数也要乘5，60×5就是300。
师：7200÷（ ）=（ ），括号里能填几，你还能马上想到吗？
生：除数还是12，只需用商5乘120，等于600。
生：前面的被除数乘了120，所以商也得乘120。
师：（板书“也”）你们用了这个字，是想表达什么意思？
生：就是当一个数乘几或除以几，另一个数也要乘几或除以几。
生：一个除以100，另一个也得除以100。
生：当被除数乘几或除以几，商就跟着乘几或除以几。
生：被除数和商同时发生变化。
学生难以发现规律，往往是因为没有掌握一一对应进行的比较方法。所以，此时放缓，让能发现规律的学生先介绍自己是如何比较、发现其中的变化的，把一一对应观察比较的方法凸显出来。随后插入两个式子填数，相当于搭起了两个“脚手架”，让学生从“举例发现”走向 “应用发现”，在任务驱动下把表面的认知化为内里对被除数与商的变化规律的认知。
3.联通经验，从“式子”到“情境”
学生在认识规律后，能马上迁移到同一形态的除式中快速填数，但却很难将其应用到具体的问题解决之中，三条规律都认识之后更是容易相互混淆。如果在初识规律时就让学生一一对应着找一找数学情境中的“被除数”、“除数”、“商”，不仅能有效激活学生已有的生活经验、知识经验，也能反过来用被激活的生活经验来助力学生对规律的理解和内化。
师：我们从一组式子中发现了一些规律，那么，在生活中，在图形中，你能不能找到“除数不变，被除数乘几或除以几，商就跟着乘几或除以几”的例子呢？
（出示如右3个材料）
师：第一个数学故事符合吗？（符合）说说你是怎么看出来的。
生：原来是一箱书，现在有两箱书，被除数乘2，所以商也乘2。括号里应该填6。
生：除数不变，因为还是分给301班的这些学生。
生：商应该乘2，因为一箱书变成了两箱书，所以每人分到的书的数量也会乘2。
师：把被除数、除数、商和故事里的几箱书、人数、每人分到的书一一对应起来，我们就发现了其中蕴含着的数学信息。①号材料符合我们发现的规律。（板书：（被除数×2）÷除数=（商×2）)
生：②号材料也符合。它是一块草坪，面积从20变成了40，就等于被除数乘2，商就是它的长，宽就是除数，因为它的宽没变也就是除数没变，所以商也要乘2。长应该是8米。
生：我觉得③号材料不符合。我们刚才的要求是除数不变，可是这里本来是分给40个人，现在是分给80个人了，除数乘2了。而被除数没变。所以不符合我们发现的这个规律。
生：被除数不变，除数乘2，商却是除以2，变成1了。
师：你们都发现③号材料跟我们刚才谈论的是不同类型。它属于被除数不变，除数和商在变化的情况。（板书：被除数÷（除数×2）=（商÷2）)那么要细细研究这个规律，咱们又得——
生：举例验证。（过程略）
师：为什么被除数不变时，除数和商反着来呢？谁能借生活事例说说理由？
生：有一筐苹果，原本平均分给4个人，但是后来人数增加到8个，每人分到的就少了。
师：能用自己的话去解释，说明这个规律你已经完全掌握了。
到具体数学问题中去“看”，一一对应着发现情境裹挟下的“被除数”“除数”“商”分别怎样变化，有助于学生进一步理解商的变化规律。在猜测出第二条规律后，学生已经能利用自己的生活经验来佐证规律，更加说明新知学习已经与自身经验联通，规律得到初步内化。
4.故事联通，从“运用”到“本质”
学生找到了“找规律”的窍门后，就能比较快地从一组式子中找到商的变化规律，而经历过了“生活情境”的对接后，学生对规律“除数不变，被除数乘几或者除以几，商也跟着乘几或者除以几；被除数不变，除数乘几或者除以几，商反而除以几或者乘几”本身，已经有了一定的“运用”层面的理解，但对于“为什么会有这样的规律存在”的本质性思考尚未发生。
师：同学们在分书、分桔子的数学故事中、在图形中也发现了商的变化规律的存在。那你们是不是应该产生一个疑问了？
生：为什么会有这样的规律？
师；是的，我们发现它，运用它，更需要知道它为什么存在。谁有想法？我们先来说说“除数不变”这条规律。
生：因为被除数大了，每个人分到的就多了，商就大了。
师：联系到分东西了，那就拿分桔子来说，现在是什么不变？
生：除数不变，也就是把桔子平均分成几份不变。
师：如果总是把桔子平均分给这2个人。2个桔子平均分给2个人，每人得1个。如果桔子个数×2呢？
生：那么，每人分得的桔子数也乘了2，变成每人2个桔子。（课件动态，配合学生回答分步出现：学生表述乘3、乘4，反过来想，除以2、除以3、除以4，过程略）
师：当除数一定，也就是平均分成的份数一定后，总数的扩大就会引发每份数的扩大。这样的理由谁还能说？
生：比如给我们班41人分桔子，桔子总数越多，我们每个人分到的就越多。（学生具体举例，略）
师：那么，还是分桔子，被除数不变的规律是什么道理？和同桌说一说。
生：被除数不变，就是总数不变。就是那几个桔子，平均分的份数少，每人分到的个数就多，平均分的份数多，每人分到的个数就少，
生：比如总共就10个桔子，平均分给1个人，每人可以得到10个桔子，如果平均分给2个人，每人就只有5个桔子了。
在情境中浅显浸润过的学生，能顺利地应用“分桔子”的情境进行说理。课件动态配合，学生充分地感受到了当份数不变的时候，随着“总数”的变化，每份数跟着变化的道理。随后让学生自己再尝试举例说明，通过丰富素材来进一步理解商的变化规律，提升规律的应用能力。一条规律的“本质”被感知之后，第二条规律的感知则放由学生自己说“理由”。学生迁移分桔子情境，自主感知当总数不变的时候，份数与每份数的反比例关系。
5.沟联规律，从“三条”到“一条”
商的变化规律这节课，得出三条规律不是最难的，难的是，三条规律都归纳出来之后，还要厘清学生在记忆、描述、应用等层面的混淆与干扰。所以，激活经验沟通规律之间的内在关联，将其简化成一条规律，是非常有必要的。
师：我们研究了除数不变的情况，被除数不变的情况，你想想还可能有什么情况？
生：商不变。
师：什么情况下会出现商不变的情况？猜猜看。（举例说明的验证过程略，板书：（被除数×2）÷（除数×2）=商）
师：观察全面，考虑细致，你们充分验证了自己的猜想。明明被除数变，除数变，都会引起商的变化，怎么现在变成“商不变”了呢？
生：（指着板书）当除数不变，被除数乘2时，商也跟着乘2；而被除数不变，除数乘2时，商反而是除以2了。也就是说，把它们合在一起的话，就是被除数乘2，除数也乘2，商就是先乘2再除以2，就抵消掉了，所以商不变。
生：因为抵消了，本来桔子多了，每人分到的桔子也要多的，但是现在人也多了，所以，每人分到的还是不变。
师：哦，又想到分桔子了，那你们哪里看到抵消了？
（课件配合，表述，略）
师：你觉得咱们这节课研究出的三条规律，其实你只要记住哪一条就够了？
生：被除数乘几或除以几，除数也乘几或除以几，商不变。
师：为什么？
生：第一条规律是指被除数乘几或除以几，商就跟着乘几或除以几。第二条规律是指除数乘几或除以几，商反而要除以几或乘几了。被除数和除数同时乘几或除以几，最后抵消，商就不变了，得到的就是第三条规律。所以第一条规律和第二条规律是第三条规律的一部分。
通过将分类研究过程中一步步归纳记录的等式进行对比，学生利用之前的经验和本质的理解，自然地将三个规律串联成了一体，将三条规律变成了一条规律，从“抵消”的角度深层次认识了“商不变的性质”。
6.趣味表达，唤醒“生动”记忆
儿童总是对童化的、趣味的语言和动作表达方式情有独钟。当略显枯燥的抽象规律与戏谑的趣语以及动手表演糅合，学生的兴趣就会被激发。同时，喻词本身蕴含的特征与规律的特质相联，能助推学生对规律的理解。操作演示更是能形象化地让各个能力层次的学生都生动地感知到规律的特征。
师：如果我们比较有趣地去形容它们，你觉得商喜欢跟着谁走，喜欢听谁的话？
生：被除数。
师：它喜欢跟谁对着干？
生：除数。
师：你们是怎么想的？
生：因为除数乘几，商反而要除以几。被除数乘几，它就跟着乘几了。
师：好，商就这个性。
那现在伸出你的手，把它放在一定的高度，代表现在的商的大小。除数不变，被除数乘3，商在哪里？（学生把手举高）
师：好，停住不动，现在除数也乘3了。（面向手放桌子下面的学生）你是怎么想的？
生：除数乘3，商反而要除以3，变小了，我就把手放下来了。
师：都是放下来，为什么你们（手回到原位的学生）之间手的高低差这么多？
生：我想问你，你一开始手放在什么位置？你再放一下。（学生照做）一开始你的手比桌面高，被除数乘3时，手升上去了，除数乘3时，不是应该抵消回到原位了吗？
生：是的。我只想到变大变小了。
师：你问到了点子上，咱们一下子都明白了。原来的商在什么位置，现在大概能到什么位置，咱们都得想明白。根据被除数和除数的变化，商会做出相应的变化。我们让商再“跑一跑”，给被除数乘10（学生手举高），给除数乘20（学生手放很低）。我看得懂你们的手势了。
师：这里有几个式子，请你先用手势摆一摆商的变化过程，再写出现在的商。
学生在“听谁的话”“与谁对着干”的表述下快速把握住了除式中各数之间的关系与变化特征，又与“手势摆一摆”的操作演示结合，对商变化的“一条规律”形成了深刻的认知。
跟进探究作业
课后，安排学生完成如下数学探究作业。
探究作业：请通过自己的大量举例，来说明商变化的规律。
经历了商变化规律的探究学习，学生在作业中会凸显什么？会保留哪些印象深刻的知识经验？结果表明，学生主要选择以下三种形式表达。
1.大量举例，一一对应
由于在课堂教学中强化了一一对应发现不同算式各数之间变化规律的方法，因此学生在探究作业中，采用的最多的方式就是大量举例除式，并一一勾联出变化的过程。其中，有一部分学生能从“类”的角度一一举例描述。例如，张阳同学从“被除数变化，除数不变；被除数不变，除数变化；被除数和除数都变化” 这三类入手，举例探究。同时，按“类”研究的方法顺利迁移，把被除数、除数“都变化”的情况分成四类，一类是“被除数乘、除数除以同一个数”，一类是“被除数除以、除数乘同一个数”，一类是“被除数、除数同时乘同一个数”，一类是“被除数、除数同时除以同一个数”，再分别举例、归纳联系。学生在数与数一一对应比较的过程中，进一步掌握了商变化的规律。
2.戏谑趣名，内联生动
儿童总是对生活中的趣味语言有着独特的记忆，“商听被除数的话”“商和除数对着干”，这内里相通的戏谑说法有助于学生生动地去理解和应用。学生在作业中也趣味十足地表达了出来。
有些学生还会自己衍生一些趣味说法，如“商遇见被除数就是听话的乖乖女，遇见除数就成了不听话的小恶魔”“被除数是大王，除数是造反的将军”等，呈现的不仅是对商变化规律的趣味识记方法，也表达出了对三条规律之间联系的认知。
3.情境图形，虚实穿行
还有的学生能用图示动态表达其中的“变化”，能借助数学情境来表述规律，折射出课堂教学中从式子一一对应到情境应用的探究过程，展示出抽象和具体之间穿行的张力。
可见，只要基于学生已有的认知经验去关注比对发现的策略，关注三条规律的内在联系且予以沟通，并在生动的语言表述和动作表达中进一步强化规律之间的联系，学生完全有能力掌握商的变化规律，并能有趣灵活地加以运用。