七下24讲 期末特辑1 七下全册思维提高题精选(上) ——九题突破几何证明&命题
写在前面
转眼间，多地的中考也已落幕，六月，我们迎来考试季，作为初一的倒数第3，第2讲，我们还是分两次，一次代数，一次几何，对一些难题进行探究突破，而最后一讲，则还是选择常考易错类，进行考前指导！本讲我们重点选择几何．
一、命题判断类
例1
某班有20位同学参加围棋、象棋比赛，甲说：“只参加一项的人数大于14人．”乙说：“两项都参加的人数小于5人．”对于甲、乙两人的说法，有下列四个命题，其中真命题是( )．
A： 若甲对，则乙对
B： 若乙对，则甲对
C： 若乙错，则甲错
D： 若甲错，则乙对
解析：
本题主要考查命题．要说明某个命题为假，我们只需要举出反例．
A项，若甲对，只参加一项的人数大于14人，可以举例，15人，则两项都参加的人数为5人，与乙所说，两项都参加的人数小于5人矛盾，则乙错．故A项是假命题．
B项，若乙对，两项都参加的人数小于5人，则只参加一项的人数大于15人，也肯定大于14人，则甲对．故B项是真命题．
C项，若乙错，即两项都参加的人数大于等于5人，可以举例，5人，则只参加一项的人数为15人，与甲所说，只参加一项的人数大于14人相符，则甲对．故C项是假命题．
D项，若甲错，即只参加一项的人数小于或等于14人，可以举例，14人，则两项都参加的人数为6人，可以举例，与乙所说，两项都参加的人数小于5人矛盾，则乙错．故D项是假命题．
故本题正确答案为B．
例2
甲、乙、丙三位同学踢球时，不小心将班级玻璃打破，当班主任追问时，甲说：“是丙打破的”； 乙说：“不是我打破的”； 丙说：“甲说谎”．三个人中只有一人说了真话，请你判断：玻璃是_____打破的．
解析：
本题主要考查了推理与论证，我们可以分别假设甲打破，乙打破，丙打破，再分别分析甲、乙、丙三人说的话，看看三人中是否只有一人说的是真话，进行推理即可得出结论．
若甲打破，则甲说了假话，乙说了真话，丙说了真话，两个人说真话，不符题意．
若乙打破，则甲说了假话，乙说了假话，丙说了真话，一个人说真话，符合题意．
若丙打破，则甲说了真话，乙说了真话，丙说了假话，两个人说真话，不符题意．
故玻璃是乙打破的．
二、计算证明类
例3
如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是BC上的一点，且BE＝4EC，CD与AE相交于点F，若△CEF的面积为1，则△ABC的面积为________．
解析：
解决此类问题，通常需要找以共线边为底，同高的三角形，从而可以发现面积比即为底之比．
例4
如图，AD是△ABC的角平分线，BE⊥AD交AD的延长线于E，EF∥AC交AB于F，求证：AF＝FB．
解析：
本题有基本模型，平行＋角平分，构造等腰三角形，则可先证AF＝FE，进而通过角等，证BF＝FE，问题得证．
例5
如图，BD、CE为△ABC的两条角平分线，判断∠1、∠2、∠A之间的数量关系并证明．(图贴错，请后台回复 24更正 获取)
解析：
本题重点考查外角怎么用，同时，也需要一定的角度转化技巧．
例6
如图，CB∥OA，∠C＝∠OAB＝120°，E、F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF．
(1)求∠EOB的度数；
(2)若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值；
(3)在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．
解析：
本题第一问是一个初一上学期的双角平分线问题，利用一半加一半即可解决．
第二问则利用外角，平行＋角平分构造等腰三角形．
第三问分别利用外角，内角和，建立方程求解．
三、翻折类
例7
如图1是AD∥BC的一张纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿EF折叠并压平，再沿BF折叠并压平，若图3中∠CFE＝18°，则图2中∠AEF的度数为________．
解析：
对于这类折叠求角度问题，我们通常采用还原的方法，将折叠后的纸片展平，从而找到折叠前后相等的角，找到几个角之间的相等关系，建立方程求解．
例8
如图，△ABC中，∠A＝35°，沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，此时∠C′DB＝85°，则原三角形的∠ABC的度数为_________．
解析：
本题又是翻折两次，我们需要找到角之间的数量关系，显然，∠ABC＝3∠CBD，不难建立方程求解．
例9
如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED外点A1的位置，若∠1＋∠2＝260°，则∠A＝_____°
解析：
本题方法较多，最直接的，我们联想到翻折模型．
当然，也可利用规形图模型．
法1：
法2：
由题意得，∠DAE＋∠DA1E＋∠ADA1＝∠2，
即2∠DAE＋(180°－∠1)＝∠2，
2∠DAE＋180°＝∠1＋∠2＝260°，∠DAE＝40°．