【八上数学】 全等辅助线 — 截长补短&半角
全等证明中，许多难题需要作辅助线，利用两次，甚至三次全等来证．而截长补短法在用于证明线段和差问题中非常常见．主要涉及两个经典模型．
截长法：将较长的线段截取为两段，证明截取的两段分别与给出的两段相等．
补短法：延长较短两条线段中的一条，使得与较长线段相等，证明延长的那一段与另一条较短线段相等．
其实2年前，笔者就曾经介绍过相关类型的典型题《八上第二讲 全等辅助线（1）截长补短》，本讲，我们再作深入分析！
一．双角平分线模型
|
例1：  分析： 本题是典型的线段和差问题，有双角平分线，可提供相等的角作对应角，且角平分线是公共边可以作为对应边，BC较长，自然想到用截长法，分为两段，一段保证与CD相等，证另一段与AB相等． 解答： 解法1：截长法 再分析： 本题也可以用补短法，且辅助线作法不唯一，我们可以对比，在此基础上选择更符合实际情况的“补短”法． |
解法2：补短法
思路1：延长CD到点G，使CG＝CB．
注意：
在证明∠4＝∠G时，有学生会借助AB∥CD，得内错角相等，但在这是行不通的，因为此时还未证明B、E、G三点共线．需要通过∠1＋∠3＝90°，由∠CEG＝∠CEB＝90°得到．
还有学生会借助∠BEA＝∠GED，认为是对顶角相等，这也是非常容易出错的，依旧没有证明B、E、G三点共线．
思路2：延长CD到点G，使DG＝AB．
会发现无法证明B、E、G三点共线，无法证明△BAE≌△GDE，自然无法证明△BCE≌△GCE．
思路3：延长BE到点G，使EG＝EB．
会发现无法证明C、D、G三点共线，无法证明△BAE≌△GDE，自然无法证明△BCE≌△GCE．
思路4：延长BE，CD交于点G．
|
变式： 分析： 本题是例1的变式，只是将图形横置，条件结论互换，这里要注意的是，只给出BE平分∠CBA的条件，因此要在AB上截取BF＝BC，先构造全等． 解答： 解法1：截长法 |
解法2：补短法
思路1：延长BC到点G，使BG＝AB，连接EG．
注意：
在最后证明AB∥CD时，由∠3＝∠G得到，是行不通的，因为此时还未证明A、E、G三点共线．
还有学生在证明△ADE≌△GCE时，不用AD＝GC的条件，而借助∠DEA＝∠GEC，用SAS证，这也是错的，依旧没有证明A、E、G三点共线．
思路2：延长BC到点G，使CG＝DA，连接EG．
无法证明△ADE≌△GCE，思路中断．
思路3：延长AE到G，使EG＝EA，连接GC．
可以证明△ADE≌△GCE(SAS)，但仅能得到AD∥CG，无法证明B、C、G三点共线，从而得到AD∥BC，思路中断．
思路4：延长AE，BC交于点G．
无法证明任何全等，思路直接中断．
反思：
由此可见，对于这种双角平分线模型的线段和差类问题，用补短法非常容易出错，要么不注意三点共线，要么直接无法证全等，因此，选择截长法更好．
二．半角模型
|
例1： 分析： 本题是经典的半角模型．还是线段和差问题．我们先尝试截长法，如在EF上截取EG＝ED，连接AG，但此时缺乏角平分线，无法证明角等的条件，无法完成．只能选择补短法，但能说延长FB，使FG与FE相等吗？还是不能！因为还是缺乏角平分线．只能使BG＝DE． 解答： |
|
变式： 分析： 典型的半角模型，采用补短的方法解决即可． 解答： |
上讲思考题