【中考2021】专题突破(7) 尺规分析作图
《怎样解题》一书的作者匈牙利数学家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。做题不在多而在精，题要解得精彩；对待解题的思想方法要对头，要通过做题，深刻理解概念，扎实掌握基本知识，学会运筹帷幄，纵横捭阖，使自己的思维水平不断提升，高屋建瓴；只有这样，面对千变万化、形式各异的题目时，才能应对自如，使一道道难题迎刃而解。也就是说，我们在解题时应力求做到一题多解，多解归一，多题归一，用“动”的观点分析问题，尽可能地拓宽思路，训练自己敏锐的思维，做到“八方联系，浑然一体”，最终达到“漫江碧透，鱼翔浅底”的境界。
写在前面
距离中考的时间已不足40天，为了帮助广大初三考生能在未来的中考中取得好成绩，笔者开设了《中考2021》专题突破的系列专栏，结合自身收集的好题与优质公众号的内容，以及笔者的《领跑数学中考二轮专题复习》，对一些热门中考内容作一个整理，今天分享专题—— 尺规作图！
与特殊点相关的尺规作图
1．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线AD交BC于D．请用尺规在AD上找一点P，使得点P到AB的距离等于PD．（保留作图痕迹，不写做法）
【解答】解：如图，
作∠ABC的平分线与AD交于点P，
则点P即为所求．
与特殊点相关的尺规作图
2．已知如图，△ABC中，AB＝AC，用尺规在BC边上求作一点P，使△BPA∽△BAC（保留作图痕迹，不写作法）．
【解答】解：如图所示：点P即为所求，
此时△BPA∽△BAC．
与特殊点相关的尺规作图问题
3．如图，用尺规在平行四边形ABCD的边AD上找一点M，使得MC平分∠BMD．（不写作法，但要保留作图痕迹）
【解答】解：如图所示：点M即为所求．
实际问题中的尺规作图
4．某小区有三栋豪华住宅楼，如图所示，A、B、C为三栋住宅楼，它们之间有笔直的小路连接，中间是一块绿地，他们计划在这块地上建一座凉亭，且凉亭到三条道路的距离相等，请你用尺规作出这样的凉亭P的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
【解答】解：∵凉亭到三条道路的距离相等，
∴凉亭P的位置为△ABC角平分线的交点．
实际问题中的尺规作图
5．如图，已知线段a，点A在平面直角坐标系xOy内．
（1）用直尺和圆规在第一象限内作出点P，使点P到两坐标轴的距离相等，且与点A的距离等于a．（保留作图痕迹，不写作法）
【解答】解：（1）如图，点P即为所求；
2）由（1）可得OP是角平分线，设点P（x，x），
过点P作PE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥x轴于点F，AD⊥PE于点D，
实际问题中的尺规作图
6．两个城镇A，B与一条公路CD，一条河流CE的位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到A，B的距离必须相等，到CD和CE的距离也必须相等，且在∠DCE的内部，请画出该山庄的位置P．（不要求写作法，保留作图痕迹．）
【解答】解：作法：①作∠ECD的平分线CF，
②作线段AB的中垂线MN，
③MN与CF交于点P，则P就是山庄的位置．
实际问题中的尺规作图
7．A、B两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，且点A的坐标是（2，2），点B的坐标是（7，3）．
（1）一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点C，使C点到A、B两校的距离相等，如果有？请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹，不求该点坐标．
（2）若在公路边建一游乐场P，使游乐场到两校距离之和最小，通过作图在图中找出建游乐场P的位置，并求出它的坐标．
【解答】解：（1）存在满足条件的点C；
作出图形，如图所示．
（2）作点A关于x轴对称的点A′（2，﹣2），连接A′B，与x轴的交点即为所求的点P．设A′B所在直线的解析式为：y＝kx+b，
圆中的尺规作图问题
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，求作⊙O，使得圆心O在直角边AC上，且⊙O经过点C，并与斜边AB相切．（要求：用尺规作图，并保留作图痕迹，不写作法）．
【解答】解：如图，⊙O即为所求．
圆中的尺规作图问题
9．如图，M为⊙O内一点，请你利用直尺和圆规作一条弦AB，使得M为AB的中点（不写作法，保留作图痕迹）．
【解答】解：如图，弦AB即为所求．
圆中的尺规作图问题
10．如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5．
【解答】解：（1）如图，AE为所作；
（2）连接OE交BC于F，连接OC，如图，
四边形中的尺规作图问题
11．如图，已知△ABC，∠C＝90°．请用尺规作一个正方形，使C为正方形的一个顶角，其余三个顶点分别在AB、BC、AC边上．（保留作图痕迹，不写作法）
∴四边形MECD即为所求的正方形．
四边形中的尺规作图问题
12．如图，请用尺规作图法，在矩形ABCD的边BC和AD上分别找一点E、F使得四边新AECF为菱形．（保留作图痕迹，不写作法）
【解答】解：如图，四边形AECF为所作．
四边形中的尺规作图问题
13．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点E为四边形ABCD边上一点，用尺规确定直线AE，使S△ADE＝S△ABE（不写画法，保留作图痕迹）．
【解答】解：作∠BAD的角平分线AE，交边BC于点E，
则直线AE即为所求．
四边形中的尺规作图问题
14．如图，已知线段AB和点O，用尺规作图法作矩形，使它的一边为AB，一条对角线经过点O（保留作图痕迹，不写作法）．
【解答】解：如图所示，矩形ABCD即为所求．（答案不唯一）
尺规作图的综合问题
15．如图，已知C为∠AOB的边OB上一定点．请用尺规作图法，在OA上求作一点P，使∠APC＝2∠AOB．（不写作法，保留作图痕迹）
【解答】解：如图，点P为所作．
尺规作图的综合问题
16．如图，已知△ABC，M是边BC延长线上一定点，请用尺规作图法，在边AC的延长线上求作一点P，使∠CPM＝∠B．（保留作图痕迹，不写作法）
【解答】解：如图，点P即为所求．
尺规作图的综合问题
17．如图，已知AD平分∠CAB，DC⊥AC于点C，请用直尺和圆规在AB上作一点E，使得点C、E关于AD所在直线对称．（保留作图痕迹，不写画法）．
【解答】解：如图，点E即为所求．
尺规作图的综合问题
18．如图，已知△ABC，点D在AB边上，且∠ACD＝90°，请用尺规作图法在BC边上求作一点P，使得∠APC＝∠ADC．（保留作图痕迹，不写作法）
【解答】解：如图，以AD为直径作圆交BC于点P．
点P即为所求．
尺规作图的综合问题
19．如图，已知△ABC，P为AB上一点，请用尺规作图的方法在AC上找一点Q，使得AQ+PQ＝AC（保留作图痕迹，不写作法）．
【解答】解：如图，点Q即为所求．
《领跑数学中考二轮专题复习》2021版