中考数学拓展专题之方案设计与决策问题
方案设计是指根据问题所提供的信息，运用学过的技能和方法，进行设计和操作，
然后通过分析、计算、证明等，列举出所有可能方案，或确定出最佳方案的一类数学问题．
一、主要题型分类
①经济类方案设计题：
根据方程(组)、不等式(组)的整数解、函数等模型，
对实际问题中的方案进行比较来确定最优方案来解决问题；
②操作类方案设计题：
根据实际问题拼接或分割图形．
以上两类试题不仅要求学生要有扎实的数学知识，而且要能够把实际问题中所涉及的数学问题转化、抽象成具体的数学问题.
二、解题的一般思路
1、解决经济类方案设计题一般过程是：
①阅读，弄清问题背景和基本要求；
②分析，寻找问题的数量关系，找到与其相关的知识；
③建模，由分析得出的相关知识建立方程模型、不等式(组)模型或函数模型；
④解题，求解上述建立的方程、不等式或函数，结合实际确定最优方案．
2、解决操作类方案设计题一般过程是：
①阅读，弄清问题背景和基本要求；
②慎重考虑，设计出尽量简便符合要求的图形；
③标上适当的数据，或附上文字说明．
三、典例讲解
【例题1】某市继2018年成功创建全国文明城市之后，又准备争创全国卫生城市．
某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．
(1)求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？
(2)该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10 000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？
【解题思路】
(1)根据“购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元”，建立方程求解即可得出结论；
(2)根据“费用不超过10 000元和至少需要安放48个垃圾箱”，建立不等式即可得出结论．
【解答过程】
(1)设温馨提示牌的单价为 x 元，则垃圾箱的单价为 3x 元，
根据题意，得 2x＋3×3x＝550，
∴ x ＝ 50. 经检验，符合题意，
∴ 3x ＝ 150元．
即温馨提示牌和垃圾箱的单价分别是 50 元和 150 元；
(2)设购买温馨提示牌 y 个( y 为正整数)，则垃圾箱为 (100－y) 个，
根据题意，得
∴ 50 ≤ y ≤ 52.
∵ y 为正整数，
∴ y 为 50,51,52，共 3 种方案．
即温馨提示牌 50 个，垃圾箱 50 个；
温馨提示牌 51 个，垃圾箱 49 个；
温馨提示牌 52 个，垃圾箱 48 个．
根据题意，费用为 50y＋150(100－y)＝－100y＋15 000，
当 y ＝ 52 时，所需资金最少，最少是 9 800 元．
【总结归纳】
本例题属于经济类方案设计问题，
用方程、不等式知识，是通过计算比较获得解决问题的方案的．
此题主要考查了一元一次不等式组，一元一次方程的应用，一次函数的图像与性质等知识，
正确找出相等关系是解决此类问题的关键．
【例题2】为拓宽学生视野，引导学生主动适应社会，促进书本知识和生活经验的深度融合，我市某中学决定组织部分班级去赤壁开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带 17 个学生，还剩 12 个学生没人带；若每位老师带 18 个学生，就有一位老师少带 4 个学生．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示.
学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过 3 100 元，为了安全，每辆客车上至少要有 2名老师．
(1)参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？
(2)既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有 2 名老师，可知租用客车总数为________辆；
(3)你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由．
【解题思路】
(1) 设出老师有 x 名，学生有 y 名，得出二元一次方程组，解出即可；
(2) 根据汽车总数不能小于 300/42 ＝50/7 ( 取整为 8 )辆，即可求出；
(3) 设租用 x 辆乙种客车，则甲种客车数为 (8－x) 辆，
由题意，得 400x＋300(8－x) ≤ 3 100，得 x 的取值范围，分析得出即可．
【解答过程】
(1)设老师有 x 名，学生有 y 名．
根据题意，列方程组为
故老师有 16 名，学生有 284 名．
(2) ∵ 每辆客车上至少要有 2 名老师，
∴ 汽车总数不能大于 8 辆．
又要保证 300 名师生有车坐，汽车总数不能小于 300/42 = 50/7 ( 取整为 8 )辆，
综上可知汽车总数为 8 辆．
故答案为8.
(3)设租用 x 辆乙种客车，则甲种客车数为 (8－x) 辆，
∵ 车总费用不超过 3 100 元，
∴ 400x＋300(8－x) ≤ 3 100，解得 x ≤ 7.
为使 300 名师生都有座，
∴ 42x＋30(8－x) ≥ 300，解得 x ≥ 5.
∴ 5 ≤ x ≤ 7 ( x 为整数 )．
∴ 共有 3 种租车方案：
方案一：租用甲种客车 3 辆，乙种客车 5 辆，租车费用为 2 900 元；
方案二：租用甲种客车 2 辆，乙种客车 6 辆，租车费用为 3 000 元；
方案三：租用甲种客车 1 辆，乙种客车 7 辆，租车费用为 3 100元；
故最节省费用的租车方案是：租用甲种客车 3 辆，乙种客车 5 辆．
【总结归纳】
本例题属于经济类方案决策型问题，
综合运用二元一次方程组与一元一次不等式确定方案，
由题意得出租用 x 辆甲种客车与租车费用的不等式关系是解决问题的关键．
【例题3】有一张边长为 a 厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加 b 厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：
方案一
方案二
方案三
小红发现这三种方案都能验证公式：
对于方案一，小明是这样验证的：
请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．
【解题思路】
根据题目中的图形面积可以分别写出方案二和方案三的推导过程，来解决问题．
【解答过程】
根据由题意，得
方案二：
方案三：
【总结归纳】
本例题考查完全平方公式的几何背景，
解答本题的关键是明确题意，写出相应的推导过程．
四、知识拓展与提高
【例题4】已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如下图 4-1 所示 .
4-1
(1)请说明图中 ①、② 两段函数图象的实际意义；
(2)写出批发该种水果的资金金额 w(元) 与批发量 n(kg) 之间的函数关系式 ；
在图 4-2 的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果 ；
4-2
(3)经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图 4-3 所示. 该经销商拟每日售出 60 kg 以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大 .
4-3
【解答过程】
(1)图 ① 表示批发量不少于 20 kg 且不多于 60 kg 的该种水果，可按 5 元/kg 批发 ；
图 ② 表示批发量高于 60 kg 的该种水果，可按 4 元/kg 批发 .
(2)根据题意，得
函数图象如图 4-4 所示 .
4-4
由函数图象可知，资金金额满足 240 < w ≤ 300 时，
以同样的资金可批发到较多数量的该种水果 .
(3)
解法一：
设当日零售价为 x 元，由函数图象可得日最高销量
n = 320 - 40x ，
当 n > 60 时 ，x < 6.5 .
根据题意，销售利润为
y = (x-4)(320-40x) = 40(x-4)(8-x)
= 40[-(x-6)^2 +4] .
从而 x = 6 时，y最大值 = 160，此时 n = 80 .
即销售商应批发 80 kg 该种水果，日零售价定为 6 元/kg，当日可得最大利润 160 元 .
解法二：
设日最高销售量为 x kg (x>60) .
则由图 4-3 可知日零售价 p 满足 x = 320 - 40p .
则 p = (320-x)/40 .
销售利润
从而 x = 80 时，y最大值 = 160，此时 p = 6 .
即销售商应批发 80 kg 该种水果，日零售价定为 6 元/kg，当日可得最大利润 160 元 .
【总结归纳】
本例题以实际生活中的水果批发为背景，
考查了数形结合的数学思想，
考查了列方程，求二次函数最值等知识点 .