探索神秘的完美数字，数千年的数学谜题，与梅森素数有关

蒙娜丽莎的微笑、玛丽·卢·雷顿的奥林匹克跳马、玛丽亚·凯莉的音乐风格。所有这些都被认为是完美的。数字6和28也是！

在艺术和运动方面，完美在于观察者的眼光。但对于数字来说，完美是有数学定义的。“完全数（完美数、完备数）”等于它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和（即因子函数）。例如，6 = 3 + 2 + 1；28 = 14 + 7 + 4 + 2 + 1。它们提供了一些不可抗拒的东西：一种完美的神秘。

欧几里得在2000多年前就提出了完美数的基础知识，他知道最初的四个完美数是6，28，496和8128。从那时起，人们发现了更多的完美数。但奇怪的是，它们都是偶数。没有人能找到一个奇完美数，经过几千年不成功的探索，人们可能会得出这样的结论：奇完美数不存在。但数学家们也无法证明这一点。为什么我们知道那么多关于偶数的知识却不能回答关于奇数的最简单的问题呢？现代数学家是如何试图解决这个古老的问题的呢？

我们对数学完美的探索始于因数（约数）。我们知道6是12的约数，因为12/6 = 2，我们知道25是100的约数，因为100/25 = 4。正如我们所说的，我们知道一个数等于它的因数的和（除它本身外）。我们也可以把一个数定义为这样的完全数，即它的所有因数（真因数和非真因数）之和是这个数的两倍。根据这个定义，我们可以看到28仍然是完美的：它的真约数是1、2、4、7和14，它的假约数是28，所有约数的总和，1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28，是56，也就是2 × 28。这对于我们将要用完全数做的代数运算是很方便的，我们很快就会看到。

完全数等于它的因数之和，所以数学家们把它转化成一个函数来简化问题。我们定义σ（n）为n的因数之和。我们已经知道σ（28）= 56。一些其他的例子是：σ（1） = 1， σ（6） = 1 + 2 + 3 + 6 = 12， σ（10） = 1 + 2 + 5 + 10 = 18。注意6是一个完美数，因为σ（6） = 2 × 6，但1和10不是。正如我们将看到的，这个函数σ有一些特殊的性质，非常适合研究完全数。

我们得到了完全数的基本定义和一个新的数学工具来帮助我们找到它们。我们应该从哪里开始寻找？我们将从质数开始。

根据定义，质数只能被它自己和1整除。这使得计算质数的σ相当容易：σ（2） = 1 + 2 = 3， σ（3） = 1 + 3 = 4， σ（5） = 1 + 5 = 6，和σ（7） = 1 + 7 = 8。一般来说，对于任何质数p， σ（p） = 1 + p。

质数是完美的吗？σ（p） = 1 + p = 2p。一些代数知识告诉我们，当p = 1时是成立的，但根据定义，1不是质数，所以质数都不是完美的。我们已经知道质数不可能是完美的。接下来呢？

质数的幂——像2^4、5^3或11^36这样的数字——是一个很好的方法，因为它们的因数很容易组织。考虑一个质数幂，比如16或2^4。2^4的约数是2^0到2^4的幂：2^0 = 1，2^1 = 2，2^2 = 4，2^3 = 8，2^4 = 16。所以σ（24）可以这样计算：

一般来说，对于任意质数p数，σ（p^n）为：

这就是所谓的几何级数，几何级数和有一个很好的公式：

由于几何级数公式，我们不需要列出p^n的所有因子来计算σ（p^n）。我们可以用这个公式：

例如，我们已经算过：

我们也可以计算其他质数幂的σ，如：

注意，这些素数幂均不满足完美数的条件：σ（2^4）≠2 × 2^4、σ（3^3）≠2 × 3^3、σ（11^2）≠2 × 11^2。事为了得到一个完美的数字，需要σ（(p^n）= 2p^n，这意味着：

我们可以从方程两边减去p^n得到：

现在，我们在等式左边运用等比级数求和公式：

我们得到：

它不等于p^n。因此，质数的幂也都不是完美的。

没有完美质数，也没有完美质数幂。那什么是完美的？我们知道28是完美的，它是两个素数幂的乘积，28 = 2^2 × 7。

任何不是素数或素数幂的数都可以写成不同素数幂的乘积。这些因式分解，加上σ函数的一个特殊性质，可以帮助我们确定一个数是否完美。

我们已经知道σ（28） = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28，但是让我们仔细看看这个和。注意，最后三个数字都是7的倍数：

我们可以提出7来揭示一些隐藏的结构：

用一些更聪明的因式分解和分配律，我们可以写出：

这并没有告诉我们新的东西，只是证明了28是完美的。但是在这个乘法里面隐藏着一些重要的东西：

括号中的表达式看起来很熟悉：1 + 2^1 + 2^2 = σ（2^2）， 1 + 7^1 = σ（7^1）。这意味着：

要计算σ（28） = σ（2^2×7），我们实际上可以计算σ（2^2）和σ（7）并将它们相乘。这是令人惊讶的，而且通常是正确的：任何时候把一个数字分解成这样的质数，都可以使用这个快捷方式来计算σ。例如，由于100 = 2^2×5^2，我们可以这样计算σ（100）：

这比列出100的9个因数并把它们相加要简单一些。

为什么会这样呢？一个数的因数来自它的质因数。再考虑28，它是2^2和7的乘积，然后考虑下面的乘法表：

上边是能整除28的2的幂，下边是能整除28的7的幂。注意当我们填乘法表的时候会发生什么。

得到28的所有因数。因为28的每一个因数都是2^2和7的因数的组合，也就是28的因数分解中出现的质数幂。

现在将乘法表与表达式进行比较：

用分配律：

换句话说，（1 + 2 + 4）（ 1 + 7 ）正好是σ（28）。但是（1 + 2 + 4）（ 1 + 7 ）也是σ（22）σ（7）。所以σ（22）σ（7） = σ（28）这个例子演示了关于σ的一个非常有用的事实：在数论语言中，这个函数是“乘法的”。这意味着当数值a和b互质时，σ（ab） = σ（a）σ（b），这意味着它们没有共同的因数。

这是σ的特殊性质，很适合我们研究完全数。两千年前，欧几里得利用这一事实，创造了一个寻找完美数的公式。在此过程中，他迈出了确定每一个完美数字的第一步。我们来看看他是怎么做到的。

首先，注意到对于2的任意次幂：

这是我们先前讨论过的几何级数公式的结果。现在考虑下面的思想实验：如果2k+1 - 1是质数会怎样？

因为对于任何质数，σ（p） = 1 + p，我们知道σ（2^(k+1) - 1）= 1 + 2^（k+1） - 1 = 2^（k+1）。注意2^（k+1）正好是2^k的两倍。在数字2^k和2^（k+1） - 1之间，有以下关系：

并且：

欧几里得发现了一个利用这些关系的聪明方法，他把这两个数放在一起，使M = 2^k × （2^（k+1） - 1），只要（2^（k+1） - 1）是素数，这个数就是完美的。为了更清楚地看到这一点，我们将计算σ（M）并表明它等于2M。

首先，注意2^（k+1） - 1比偶数小1，所以它一定是奇数。这意味着2^（k+1） - 1不能被2整除。但是2^k只能被2的幂整除。所以2^k和2^（k+1） - 1没有公因数，因此它们是互质的。这允许我们使用σ的乘法性质：

我们已经知道σ（2^k）= 2^（k+1） - 1和σ（2^（k+1） - 1）= 2^（k+1） = 2 × 2^k，所以我们可以得到σ（M）：

所以M = 2^k × （2^（k+1） - 1）是完美的。

记住，这是基于2^（k+1） - 1是质数的假设。这些数字被称为梅森素数，你可能听说过它们，因为有了“互联网梅森素数搜索”（GIMPS），这是一个在线协作计算项目，旨在寻找巨大的梅森素数。多亏了欧几里得的证明，任何时候一个新的梅森素数被发现，意味着一个新的完美数也被发现。

例如，2^5-1 = 31是一个梅森素数，所以2^4（2^5-1）= 16 × 31 = 486是一个完美数。此外，2^2 - 1 = 3是一个梅森素数，所以2^1（2^2 - 1）= 2 × 3 = 6是完美的。而2^3 - 1 = 7是一个梅森素数，所以2^2（2^3 - 1）= 4 × 7 = 28是完美的。

你可能已经注意到所有这些完美数都是偶数。这是有意义的，因为只要k > 0，2^k × （2^（k+1） - 1）就是偶数。

你可能也已经注意到，到目前为止我们讨论的所有完美数似乎都涉及梅森素数。这并非巧合，2000年前欧几里得证明了这个公式可以产生完美数，而莱昂哈德·欧拉证明了这是得到完美数的唯一方法。但是奇完全数是什么样子的问题（如果它们存在的话）。

尽管数学家们找不到一个完美数，但他们有很多关于假设的奇完美数可能是什么样子的信息。它不能被105整除。它必须至少有9个不同的质因数，第二大的必须大于10,000。除以12余数是1除以36余数是9。

要证明一些甚至可能不存在的数字的结果似乎很奇怪。但每一条新规则都会缩小搜索范围。如果幸运的话，数学家们可能会证明奇完美数必须满足两个不相容的条件，这就能一了百了地证明奇完美数不存在。

为了寻找不相容的标准，数学家们甚至开始研究那些不太完美的数字。例如60，它是3、4和5的乘积，可以被认为是“完美的欺骗”：如果你假设它的一个因数4是一个素数，那么我们为根据σ公式，有：

如果σ（60）等于120，那么60是完美的。当然，σ（60）实际上并不等于120，但如果我们假设4是一个质数，它看起来会等于120。这就是它的搞笑之处。